MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0addge1 12160
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0addge1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))

Proof of Theorem nn0addge1
StepHypRef Expression
1 nn0re 12123 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 nn0ge0 12139 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
31, 2jca 515 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
4 addge01 11366 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁)))
54biimp3a 1471 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
653expb 1122 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
73, 6sylan2 596 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111   class class class wbr 5067  (class class class)co 7231  cr 10752  0cc0 10753   + caddc 10756  cle 10892  0cn0 12114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-er 8411  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-nn 11855  df-n0 12115
This theorem is referenced by:  nn0addge1i  12162  eluzmn  12469  fzctr  13248  elincfzoext  13324  pcaddlem  16465  psgnunilem2  18911  mndodconglem  18957  efgredleme  19157  mplmonmul  21017  coe1tmmul2fv  21223  coe1pwmulfv  21225  uniioombllem3  24506  coe1mul3  25021  ply1divmo  25057  plydiveu  25215  quotcan  25226  leibpi  25849  basellem6  25992  chtublem  26116  pntrmax  26469  signstfvc  32289  prodsplit  39912  fourierdlem47  43397
  Copyright terms: Public domain W3C validator