Theorem erngfmul 40745

Description: Ring multiplication operation. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng.m	⊢ · = (.r‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngfmul	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐾   𝑊,𝑠,𝑡   𝐸,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑠)   𝑇(𝑡,𝑠)   · (𝑡,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem erngfmul

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	erngset 40740	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡))⟩})
6	5	fveq2d 6876	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (.r‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡))⟩}))
7		erng.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝐷)
8	3	fvexi 6886	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
9	8, 8	mpoex 8072	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)) ∈ V
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡))⟩}
11	10	rngmulr 17300	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)) ∈ V → (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)) = (.r‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡))⟩}))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)) = (.r‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡))⟩})
13	6, 7, 12	3eqtr4g 2794	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457  {ctp 4603  ⟨cop 4605   ↦ cmpt 5198   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6527   ∈ cmpo 7401  ndxcnx 17197  Basecbs 17213  +_gcplusg 17256  ._rcmulr 17257  LHypclh 39924  LTrncltrn 40041  TEndoctendo 40692  EDRingcedring 40693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13514  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-edring 40697

This theorem is referenced by:  erngmul  40746  erngdvlem3  40930  erngdvlem4  40931  dvafmulr  40951  dvhfmulr  41025