Theorem dvafmulr 41887

Description: Ring multiplication operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafmul.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafmul.p	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvafmulr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝐾,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑡, 𝑠)   · (𝑡, 𝑠)   𝑈(𝑡, 𝑠)   𝐹(𝑡, 𝑠)   𝐻(𝑡, 𝑠)   𝑉(𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem dvafmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafmul.p	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐹)
2		dvafmul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafmul.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafmul.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	dvasca 41882	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
7	6	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐹) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
8	1, 7	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
9		dvafmul.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		dvafmul.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
12	2, 9, 10, 3, 11	erngfmul 41681	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)))
13	8, 12	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533   ∈ cmpo 7416  ._rcmulr 17346  Scalarcsca 17348  LHypclh 40860  LTrncltrn 40977  TEndoctendo 41628  EDRingcedring 41629  DVecAcdveca 41878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-edring 41633  df-dveca 41879

This theorem is used by:  dvamulr  41888