Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvafmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvafmulr 38252
Description: Ring multiplication operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafmul.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafmul.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.f 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafmul.p · = (.r𝐹)
Assertion
Ref Expression
dvafmulr ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → · = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝐾,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑡,𝑠)   · (𝑡,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑠)   𝐹(𝑡,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem dvafmulr
StepHypRef Expression
1 dvafmul.p . . 3 · = (.r𝐹)
2 dvafmul.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2824 . . . . 5 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
4 dvafmul.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5 dvafmul.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
62, 3, 4, 5dvasca 38247 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
76fveq2d 6665 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (.r𝐹) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
81, 7syl5eq 2871 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → · = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
9 dvafmul.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 dvafmul.e . . 3 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2824 . . 3 (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
122, 9, 10, 3, 11erngfmul 38046 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡)))
138, 12eqtrd 2859 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → · = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  ccom 5546  cfv 6343  cmpo 7151  .rcmulr 16566  Scalarcsca 16568  LHypclh 37225  LTrncltrn 37342  TEndoctendo 37993  EDRingcedring 37994  DVecAcdveca 38243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-edring 37998  df-dveca 38244
This theorem is referenced by:  dvamulr  38253
  Copyright terms: Public domain W3C validator