Theorem dvhfmulr 41284

Description: Ring multiplication operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhfmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfmul.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhfmul.m	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvhfmulr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝐾,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑡,𝑠)   · (𝑡,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑠)   𝐹(𝑡,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem dvhfmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhfmul.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐹)
2		dvhfmul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhfmul.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dvhfmul.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	dvhsca 41281	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
7	6	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐹) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
8	1, 7	eqtrid 2781	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
9		dvhfmul.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		dvhfmul.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
12	2, 9, 10, 3, 11	erngfmul 41004	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)))
13	8, 12	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑠 ∘ 𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490   ∈ cmpo 7358  ._rcmulr 17176  Scalarcsca 17178  LHypclh 40183  LTrncltrn 40300  TEndoctendo 40951  EDRingcedring 40952  DVecHcdvh 41277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-edring 40956  df-dvech 41278

This theorem is referenced by:  dvhmulr  41285