Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3lem5 28021
 Description: Lemma for eupth2 28028. (Contributed by AV, 25-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u (𝜑𝑈𝑉)
trlsegvdeg.w (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
eupth2lem3.e (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem5 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem5
StepHypRef Expression
1 eupth2lem3.e . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
2 trlsegvdeg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 trlsegvdeg.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 trlsegvdeg.f . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐼)
5 trlsegvdeg.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6 trlsegvdeg.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
7 trlsegvdeg.w . . . 4 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7trlsegvdeglem1 28009 . . 3 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
9 prelpwi 5308 . . 3 (((𝑃𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉) → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝒫 𝑉)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝒫 𝑉)
111, 10eqeltrd 2893 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113  ∅c0 4246  ifcif 4428  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  {cpr 4530  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033   ↾ cres 5525   “ cima 5526  Fun wfun 6322  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  2c2 11684  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  ♯chash 13690   ∥ cdvds 15603  Vtxcvtx 26793  iEdgciedg 26794  VtxDegcvtxdg 27259  Trailsctrls 27484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-wlks 27393  df-trls 27486 This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  28023
 Copyright terms: Public domain W3C validator