Theorem trlsegvdeglem1 30200

Description: Lemma for trlsegvdeg 30207. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem1	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem trlsegvdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
2		trlsegvdeg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3		trliswlk 29674	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		trlsegvdeg.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	wlkpvtx 29636	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉))
6		elfzofz 13575	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
7	5, 6	impel 505	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
8	4	wlkpvtx 29636	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
9		fzofzp1 13664	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
10	8, 9	impel 505	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
11	7, 10	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)))
13	2, 3, 12	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)))
14	1, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28974  iEdgciedg 28975  Walkscwlks 29575  Trailsctrls 29667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-wlks 29578  df-trls 29669

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3  30210  eupth2lem3lem4  30211  eupth2lem3lem5  30212