Theorem trlsegvdeglem1 30646

Description: Lemma for trlsegvdeg 30653. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem1	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem trlsegvdeglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
2		trlsegvdeg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3		trliswlk 30111	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		trlsegvdeg.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	wlkpvtx 30069	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉))
6		elfzofz 13725	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
7	5, 6	impel 515	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
8	4	wlkpvtx 30069	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
9		fzofzp1 13814	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
10	8, 9	impel 515	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
11	7, 10	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)))
13	2, 3, 12	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)))
14	1, 13	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122  ...cfz 13555  ..^cfzo 13703  ♯chash 14388  Vtxcvtx 29405  iEdgciedg 29406  Walkscwlks 30008  Trailsctrls 30104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-hash 14389  df-word 14573  df-wlks 30011  df-trls 30106

This theorem is used by:  eupth2lem3lem3  30656  eupth2lem3lem4  30657  eupth2lem3lem5  30658