MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlsegvdeglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlsegvdeglem1 30150
Description: Lemma for trlsegvdeg 30157. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u (𝜑𝑈𝑉)
trlsegvdeg.w (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
trlsegvdeglem1 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem trlsegvdeglem1
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
2 trlsegvdeg.w . . 3 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3 trliswlk 29631 . . 3 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 trlsegvdeg.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54wlkpvtx 29593 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝑃𝑁) ∈ 𝑉))
6 elfzofz 13696 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
75, 6impel 504 . . . . 5 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝑁) ∈ 𝑉)
84wlkpvtx 29593 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
9 fzofzp1 13778 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
108, 9impel 504 . . . . 5 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)
117, 10jca 510 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
1211ex 411 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)))
132, 3, 123syl 18 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉)))
141, 13mpd 15 1 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5145  Fun wfun 6540  cfv 6546  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  ...cfz 13532  ..^cfzo 13675  chash 14342  Vtxcvtx 28929  iEdgciedg 28930  Walkscwlks 29530  Trailsctrls 29624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-hash 14343  df-word 14518  df-wlks 29533  df-trls 29626
This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3  30160  eupth2lem3lem4  30161  eupth2lem3lem5  30162
  Copyright terms: Public domain W3C validator