Theorem pgrple2abl 48090

Description: Every symmetric group on a set with at most 2 elements is abelian. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgrple2abl.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pgrple2abl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem pgrple2abl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrple2abl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
4		2nn0 12570	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		hashbnd 14385	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
6	4, 5	mp3an2 1449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
8	1, 7	symghash 19419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
10		hashcl 14405	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12		faccl 14332	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
14	13	nnred 12308	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	11, 11	nn0expcld 14295	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12614	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
17		6re 12383	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 6 ∈ ℝ)
19		facubnd 14349	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
20	11, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
21		exple2lt6 48089	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
22	11, 21	sylancom 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
23	14, 16, 18, 20, 22	lelttrd 11448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) < 6)
24	9, 23	eqbrtrd 5188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) < 6)
25	7	lt6abl 19937	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘(Base‘𝐺)) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
26	3, 24, 25	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  2c2 12348  6c6 12352  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112  !cfa 14322  ♯chash 14379  Basecbs 17258  Grpcgrp 18973  SymGrpcsymg 19410  Abelcabl 19823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-efmnd 18904  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-symg 19411  df-od 19570  df-gex 19571  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-cyg 19920

This theorem is referenced by: (None)