Theorem pgrple2abl 48553

Description: Every symmetric group on a set with at most 2 elements is abelian. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgrple2abl.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pgrple2abl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem pgrple2abl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrple2abl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19327	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
4		2nn0 12416	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		hashbnd 14257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
6	4, 5	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
7		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
8	1, 7	symghash 19305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
10		hashcl 14277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12		faccl 14204	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
14	13	nnred 12158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	11, 11	nn0expcld 14167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
17		6re 12233	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 6 ∈ ℝ)
19		facubnd 14221	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
20	11, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
21		exple2lt6 48552	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
22	11, 21	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
23	14, 16, 18, 20, 22	lelttrd 11289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) < 6)
24	9, 23	eqbrtrd 5118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) < 6)
25	7	lt6abl 19822	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘(Base‘𝐺)) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
26	3, 24, 25	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  ℝcr 11023   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕcn 12143  2c2 12198  6c6 12202  ℕ₀cn0 12399  ↑cexp 13982  !cfa 14194  ♯chash 14251  Basecbs 17134  Grpcgrp 18861  SymGrpcsymg 19296  Abelcabl 19708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-pc 16763  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-tset 17194  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-eqg 19053  df-symg 19297  df-od 19455  df-gex 19456  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-cyg 19805

This theorem is referenced by: (None)