Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgrple2abl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgrple2abl 46336
Description: Every symmetric group on a set with at most 2 elements is abelian. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pgrple2abl ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem pgrple2abl
StepHypRef Expression
1 pgrple2abl.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
21symggrp 19135 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
32adantr 481 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
4 2nn0 12388 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
5 hashbnd 14190 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5mp3an2 1449 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
7 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
81, 7symghash 19112 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
96, 8syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
10 hashcl 14210 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12 faccl 14137 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
1413nnred 12126 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
1511, 11nn0expcld 14103 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1615nn0red 12432 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
17 6re 12201 . . . . 5 6 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 6 ∈ ℝ)
19 facubnd 14154 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
2011, 19syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
21 exple2lt6 46335 . . . . 5 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
2211, 21sylancom 588 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
2314, 16, 18, 20, 22lelttrd 11271 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) < 6)
249, 23eqbrtrd 5125 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) < 6)
257lt6abl 19625 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘(Base‘𝐺)) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
263, 24, 25syl2anc 584 1 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  cr 11008   < clt 11147  cle 11148  cn 12111  2c2 12166  6c6 12170  0cn0 12371  cexp 13921  !cfa 14127  chash 14184  Basecbs 17037  Grpcgrp 18702  SymGrpcsymg 19101  Abelcabl 19516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-ec 8608  df-qs 8612  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-dju 9795  df-card 9833  df-acn 9836  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324  df-sum 15525  df-dvds 16091  df-gcd 16329  df-prm 16502  df-pc 16663  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-tset 17106  df-0g 17277  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-efmnd 18633  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-sbg 18707  df-mulg 18826  df-subg 18878  df-eqg 18880  df-symg 19102  df-od 19263  df-gex 19264  df-cmn 19517  df-abl 19518  df-cyg 19608
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator