Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgrple2abl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgrple2abl 46531
Description: Every symmetric group on a set with at most 2 elements is abelian. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pgrple2abl ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem pgrple2abl
StepHypRef Expression
1 pgrple2abl.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
21symggrp 19190 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
32adantr 482 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
4 2nn0 12438 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
5 hashbnd 14245 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5mp3an2 1450 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
7 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
81, 7symghash 19167 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
96, 8syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
10 hashcl 14265 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12 faccl 14192 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
1413nnred 12176 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
1511, 11nn0expcld 14158 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1615nn0red 12482 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
17 6re 12251 . . . . 5 6 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 6 ∈ ℝ)
19 facubnd 14209 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
2011, 19syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
21 exple2lt6 46530 . . . . 5 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
2211, 21sylancom 589 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
2314, 16, 18, 20, 22lelttrd 11321 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) < 6)
249, 23eqbrtrd 5131 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) < 6)
257lt6abl 19680 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘(Base‘𝐺)) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
263, 24, 25syl2anc 585 1 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5109  cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  cr 11058   < clt 11197  cle 11198  cn 12161  2c2 12216  6c6 12220  0cn0 12421  cexp 13976  !cfa 14182  chash 14239  Basecbs 17091  Grpcgrp 18756  SymGrpcsymg 19156  Abelcabl 19571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-eqg 18935  df-symg 19157  df-od 19318  df-gex 19319  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-cyg 19663
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator