Theorem pgrple2abl 43719

Description: Every symmetric group on a set with at most 2 elements is abelian. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgrple2abl.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pgrple2abl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem pgrple2abl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrple2abl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 18279	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3	2	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
4		2nn0 11719	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		hashbnd 13504	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
6	4, 5	mp3an2 1428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
7		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
8	1, 7	symghash 18264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) = (!‘(♯‘𝐴)))
10		hashcl 13525	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12		faccl 13451	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
14	13	nnred 11448	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	11, 11	nn0expcld 13415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 11761	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
17		6re 11526	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 6 ∈ ℝ)
19		facubnd 13468	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
20	11, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) ≤ ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
21		exple2lt6 43718	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
22	11, 21	sylancom 579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) < 6)
23	14, 16, 18, 20, 22	lelttrd 10590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(♯‘𝐴)) < 6)
24	9, 23	eqbrtrd 4945	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → (♯‘(Base‘𝐺)) < 6)
25	7	lt6abl 18759	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘(Base‘𝐺)) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
26	3, 24, 25	syl2anc 576	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8298  ℝcr 10326   < clt 10466   ≤ cle 10467  ℕcn 11431  2c2 11488  6c6 11492  ℕ₀cn0 11700  ↑cexp 13237  !cfa 13441  ♯chash 13498  Basecbs 16329  Grpcgrp 17881  SymGrpcsymg 18256  Abelcabl 18657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-dju 9116  df-card 9154  df-acn 9157  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-sum 14894  df-dvds 15458  df-gcd 15694  df-prm 15862  df-pc 16020  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-tset 16430  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-eqg 18052  df-symg 18257  df-od 18408  df-gex 18409  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-cyg 18743

This theorem is referenced by: (None)