Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgpsumn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpsumn 45160
 Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the one of the ring, this summand/ factor can be removed from the group sum. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpsumunsn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t · = (.r𝑅)
mgpsumunsn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i (𝜑𝐼𝑁)
mgpsumunsn.a ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumn.n 1 = (1r𝑅)
mgpsumn.1 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 1 )
Assertion
Ref Expression
mgpsumn (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   1 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumn
StepHypRef Expression
1 mgpsumunsn.m . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 mgpsumunsn.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 mgpsumunsn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4 mgpsumunsn.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5 mgpsumunsn.i . . 3 (𝜑𝐼𝑁)
6 mgpsumunsn.a . . 3 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7 crngring 19382 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
83, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10 mgpsumn.n . . . . 5 1 = (1r𝑅)
119, 10ringidcl 19394 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
128, 11syl 17 . . 3 (𝜑1 ∈ (Base‘𝑅))
13 mgpsumn.1 . . 3 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 1 )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13mgpsumunsn 45158 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 1 ))
151, 9mgpbas 19318 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
161crngmgp 19378 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
173, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
18 diffi 8791 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
194, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
20 eldifi 4034 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘𝑁)
2120, 6sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2221ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2315, 17, 19, 22gsummptcl 19160 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
249, 2, 10ringridm 19398 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 1 ) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
258, 23, 24syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 1 ) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
2614, 25eqtrd 2793 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3857  {csn 4525   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Fincfn 8532  Basecbs 16546  .rcmulr 16629   Σg cgsu 16777  CMndccmn 18978  mulGrpcmgp 19312  1rcur 19324  Ringcrg 19370  CRingccrg 19371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator