![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mgpsumn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the one of the ring, this summand/ factor can be removed from the group sum. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mgpsumunsn.m | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
mgpsumunsn.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mgpsumunsn.r | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
mgpsumunsn.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mgpsumunsn.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
mgpsumunsn.a | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) |
mgpsumn.n | โข 1 = (1rโ๐ ) |
mgpsumn.1 | โข (๐ = ๐ผ โ ๐ด = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
mgpsumn | โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mgpsumunsn.m | . . 3 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
2 | mgpsumunsn.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
3 | mgpsumunsn.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
4 | mgpsumunsn.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
5 | mgpsumunsn.i | . . 3 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
6 | mgpsumunsn.a | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) | |
7 | crngring 20067 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ Ring) | |
8 | 3, 7 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
9 | eqid 2732 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
10 | mgpsumn.n | . . . . 5 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
11 | 9, 10 | ringidcl 20082 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ 1 โ (Baseโ๐ )) |
12 | 8, 11 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (Baseโ๐ )) |
13 | mgpsumn.1 | . . 3 โข (๐ = ๐ผ โ ๐ด = 1 ) | |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13 | mgpsumunsn 47027 | . 2 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 )) |
15 | 1, 9 | mgpbas 19992 | . . . 4 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐) |
16 | 1 | crngmgp 20063 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ CMnd) |
17 | 3, 16 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ CMnd) |
18 | diffi 9178 | . . . . 5 โข (๐ โ Fin โ (๐ โ {๐ผ}) โ Fin) | |
19 | 4, 18 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โ Fin) |
20 | eldifi 4126 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โ ๐ โ ๐) | |
21 | 20, 6 | sylan2 593 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โ {๐ผ})) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) |
22 | 21 | ralrimiva 3146 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ โ {๐ผ})๐ด โ (Baseโ๐ )) |
23 | 15, 17, 19, 22 | gsummptcl 19834 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) โ (Baseโ๐ )) |
24 | 9, 2, 10 | ringridm 20086 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) โ (Baseโ๐ )) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 ) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
25 | 8, 23, 24 | syl2anc 584 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 ) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
26 | 14, 25 | eqtrd 2772 | 1 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ cdif 3945 {csn 4628 โฆ cmpt 5231 โcfv 6543 (class class class)co 7408 Fincfn 8938 Basecbs 17143 .rcmulr 17197 ฮฃg cgsu 17385 CMndccmn 19647 mulGrpcmgp 19986 1rcur 20003 Ringcrg 20055 CRingccrg 20056 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-of 7669 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8146 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-seq 13966 df-hash 14290 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18560 df-sgrp 18609 df-mnd 18625 df-submnd 18671 df-mulg 18950 df-cntz 19180 df-cmn 19649 df-mgp 19987 df-ur 20004 df-ring 20057 df-cring 20058 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |