![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mgpsumn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the one of the ring, this summand/ factor can be removed from the group sum. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mgpsumunsn.m | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
mgpsumunsn.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mgpsumunsn.r | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
mgpsumunsn.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mgpsumunsn.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
mgpsumunsn.a | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) |
mgpsumn.n | โข 1 = (1rโ๐ ) |
mgpsumn.1 | โข (๐ = ๐ผ โ ๐ด = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
mgpsumn | โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mgpsumunsn.m | . . 3 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
2 | mgpsumunsn.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
3 | mgpsumunsn.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
4 | mgpsumunsn.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
5 | mgpsumunsn.i | . . 3 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
6 | mgpsumunsn.a | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) | |
7 | crngring 19984 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ Ring) | |
8 | 3, 7 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
9 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
10 | mgpsumn.n | . . . . 5 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
11 | 9, 10 | ringidcl 19997 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ 1 โ (Baseโ๐ )) |
12 | 8, 11 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (Baseโ๐ )) |
13 | mgpsumn.1 | . . 3 โข (๐ = ๐ผ โ ๐ด = 1 ) | |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13 | mgpsumunsn 46527 | . 2 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 )) |
15 | 1, 9 | mgpbas 19910 | . . . 4 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐) |
16 | 1 | crngmgp 19980 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ CMnd) |
17 | 3, 16 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ CMnd) |
18 | diffi 9129 | . . . . 5 โข (๐ โ Fin โ (๐ โ {๐ผ}) โ Fin) | |
19 | 4, 18 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โ Fin) |
20 | eldifi 4090 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โ ๐ โ ๐) | |
21 | 20, 6 | sylan2 594 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โ {๐ผ})) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) |
22 | 21 | ralrimiva 3140 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ โ {๐ผ})๐ด โ (Baseโ๐ )) |
23 | 15, 17, 19, 22 | gsummptcl 19752 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) โ (Baseโ๐ )) |
24 | 9, 2, 10 | ringridm 20001 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) โ (Baseโ๐ )) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 ) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
25 | 8, 23, 24 | syl2anc 585 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 ) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
26 | 14, 25 | eqtrd 2773 | 1 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ cdif 3911 {csn 4590 โฆ cmpt 5192 โcfv 6500 (class class class)co 7361 Fincfn 8889 Basecbs 17091 .rcmulr 17142 ฮฃg cgsu 17330 CMndccmn 19570 mulGrpcmgp 19904 1rcur 19921 Ringcrg 19972 CRingccrg 19973 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-supp 8097 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-fsupp 9312 df-oi 9454 df-card 9883 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-nn 12162 df-2 12224 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-seq 13916 df-hash 14240 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-0g 17331 df-gsum 17332 df-mre 17474 df-mrc 17475 df-acs 17477 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-submnd 18610 df-mulg 18881 df-cntz 19105 df-cmn 19572 df-mgp 19905 df-ur 19922 df-ring 19974 df-cring 19975 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |