Theorem mgpsumn 49614

Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the one of the ring, this summand/ factor can be removed from the group sum. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumn.n	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mgpsumn.1	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 1 )

Assertion

Ref	Expression
mgpsumn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   1 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		mgpsumunsn.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mgpsumunsn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		mgpsumunsn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		mgpsumunsn.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
6		mgpsumunsn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		crngring 20484	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	3, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		mgpsumn.n	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11	9, 10	ringidcl 20506	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
12	8, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		mgpsumn.1	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 1 )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13	mgpsumunsn 49612	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 1 ))
15	1, 9	mgpbas 20377	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
16	1	crngmgp 20479	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
17	3, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
18		diffi 9201	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
19	4, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
20		eldifi 4069	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
21	20, 6	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
22	21	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
23	15, 17, 19, 22	gsummptcl 20193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
24	9, 2, 10	ringridm 20511	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 1 ) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
25	8, 23, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 1 ) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
26	14, 25	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 4047  {csn 4587   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Fincfn 8984  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441   Σ_g cgsu 17623  CMndccmn 20006  mulGrpcmgp 20372  1_rcur 20419  Ringcrg 20471  CRingccrg 20472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-mgp 20373  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474

This theorem is used by: (None)