![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mgpsumn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the one of the ring, this summand/ factor can be removed from the group sum. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mgpsumunsn.m | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
mgpsumunsn.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mgpsumunsn.r | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
mgpsumunsn.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mgpsumunsn.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
mgpsumunsn.a | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) |
mgpsumn.n | โข 1 = (1rโ๐ ) |
mgpsumn.1 | โข (๐ = ๐ผ โ ๐ด = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
mgpsumn | โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mgpsumunsn.m | . . 3 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
2 | mgpsumunsn.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
3 | mgpsumunsn.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
4 | mgpsumunsn.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
5 | mgpsumunsn.i | . . 3 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
6 | mgpsumunsn.a | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) | |
7 | crngring 20179 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ Ring) | |
8 | 3, 7 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
9 | eqid 2728 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
10 | mgpsumn.n | . . . . 5 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
11 | 9, 10 | ringidcl 20196 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ 1 โ (Baseโ๐ )) |
12 | 8, 11 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (Baseโ๐ )) |
13 | mgpsumn.1 | . . 3 โข (๐ = ๐ผ โ ๐ด = 1 ) | |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13 | mgpsumunsn 47416 | . 2 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 )) |
15 | 1, 9 | mgpbas 20074 | . . . 4 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐) |
16 | 1 | crngmgp 20175 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ CMnd) |
17 | 3, 16 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ CMnd) |
18 | diffi 9198 | . . . . 5 โข (๐ โ Fin โ (๐ โ {๐ผ}) โ Fin) | |
19 | 4, 18 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โ Fin) |
20 | eldifi 4123 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โ ๐ โ ๐) | |
21 | 20, 6 | sylan2 592 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โ {๐ผ})) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) |
22 | 21 | ralrimiva 3142 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ โ {๐ผ})๐ด โ (Baseโ๐ )) |
23 | 15, 17, 19, 22 | gsummptcl 19916 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) โ (Baseโ๐ )) |
24 | 9, 2, 10 | ringridm 20200 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) โ (Baseโ๐ )) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 ) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
25 | 8, 23, 24 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 ) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
26 | 14, 25 | eqtrd 2768 | 1 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ cdif 3942 {csn 4625 โฆ cmpt 5226 โcfv 6543 (class class class)co 7415 Fincfn 8958 Basecbs 17174 .rcmulr 17228 ฮฃg cgsu 17416 CMndccmn 19729 mulGrpcmgp 20068 1rcur 20115 Ringcrg 20167 CRingccrg 20168 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-iin 4995 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-of 7680 df-om 7866 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8161 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-1o 8481 df-er 8719 df-en 8959 df-dom 8960 df-sdom 8961 df-fin 8962 df-fsupp 9381 df-oi 9528 df-card 9957 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-nn 12238 df-2 12300 df-n0 12498 df-z 12584 df-uz 12848 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-seq 13994 df-hash 14317 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-ress 17204 df-plusg 17240 df-0g 17417 df-gsum 17418 df-mre 17560 df-mrc 17561 df-acs 17563 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-submnd 18735 df-mulg 19018 df-cntz 19262 df-cmn 19731 df-mgp 20069 df-ur 20116 df-ring 20169 df-cring 20170 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |