![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mgpsumn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the one of the ring, this summand/ factor can be removed from the group sum. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mgpsumunsn.m | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
mgpsumunsn.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mgpsumunsn.r | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
mgpsumunsn.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mgpsumunsn.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
mgpsumunsn.a | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) |
mgpsumn.n | โข 1 = (1rโ๐ ) |
mgpsumn.1 | โข (๐ = ๐ผ โ ๐ด = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
mgpsumn | โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mgpsumunsn.m | . . 3 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
2 | mgpsumunsn.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
3 | mgpsumunsn.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
4 | mgpsumunsn.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
5 | mgpsumunsn.i | . . 3 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
6 | mgpsumunsn.a | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) | |
7 | crngring 20142 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ Ring) | |
8 | 3, 7 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
9 | eqid 2724 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
10 | mgpsumn.n | . . . . 5 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
11 | 9, 10 | ringidcl 20157 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ 1 โ (Baseโ๐ )) |
12 | 8, 11 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (Baseโ๐ )) |
13 | mgpsumn.1 | . . 3 โข (๐ = ๐ผ โ ๐ด = 1 ) | |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13 | mgpsumunsn 47251 | . 2 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 )) |
15 | 1, 9 | mgpbas 20037 | . . . 4 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐) |
16 | 1 | crngmgp 20138 | . . . . 5 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ CMnd) |
17 | 3, 16 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ CMnd) |
18 | diffi 9176 | . . . . 5 โข (๐ โ Fin โ (๐ โ {๐ผ}) โ Fin) | |
19 | 4, 18 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โ Fin) |
20 | eldifi 4119 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โ ๐ โ ๐) | |
21 | 20, 6 | sylan2 592 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โ {๐ผ})) โ ๐ด โ (Baseโ๐ )) |
22 | 21 | ralrimiva 3138 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ โ {๐ผ})๐ด โ (Baseโ๐ )) |
23 | 15, 17, 19, 22 | gsummptcl 19879 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) โ (Baseโ๐ )) |
24 | 9, 2, 10 | ringridm 20161 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) โ (Baseโ๐ )) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 ) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
25 | 8, 23, 24 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด)) ยท 1 ) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
26 | 14, 25 | eqtrd 2764 | 1 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (๐ โ {๐ผ}) โฆ ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ cdif 3938 {csn 4621 โฆ cmpt 5222 โcfv 6534 (class class class)co 7402 Fincfn 8936 Basecbs 17145 .rcmulr 17199 ฮฃg cgsu 17387 CMndccmn 19692 mulGrpcmgp 20031 1rcur 20078 Ringcrg 20130 CRingccrg 20131 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-nn 12211 df-2 12273 df-n0 12471 df-z 12557 df-uz 12821 df-fz 13483 df-fzo 13626 df-seq 13965 df-hash 14289 df-sets 17098 df-slot 17116 df-ndx 17128 df-base 17146 df-ress 17175 df-plusg 17211 df-0g 17388 df-gsum 17389 df-mre 17531 df-mrc 17532 df-acs 17534 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18706 df-mulg 18988 df-cntz 19225 df-cmn 19694 df-mgp 20032 df-ur 20079 df-ring 20132 df-cring 20133 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |