MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnv 15806
Description: A sequence of powers of a complex number ๐ด with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
expcnv.2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘›)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12861 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12589 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 nn0ex 12474 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
43mptex 7221 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V
54a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
6 0cnd 11203 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
7 nnnn0 12475 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
10 ovex 7438 . . . . . . 7 (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ V
118, 9, 10fvmpt 6995 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
127, 11syl 17 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
13 simpr 485 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
1413oveq1d 7420 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (0โ†‘๐‘˜))
1512, 14sylan9eqr 2794 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (0โ†‘๐‘˜))
16 0exp 14059 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘˜) = 0)
1716adantl 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (0โ†‘๐‘˜) = 0)
1815, 17eqtrd 2772 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = 0)
191, 2, 5, 6, 18climconst 15483 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
20 1zzd 12589 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
21 expcnv.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
23 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
24 absrpcl 15231 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2523, 24sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2625reclt1d 13025 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) < 1 โ†” 1 < (1 / (absโ€˜๐ด))))
2722, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 < (1 / (absโ€˜๐ด)))
28 1re 11210 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
2925rpreccld 13022 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
3029rpred 13012 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
31 difrp 13008 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (1 / (absโ€˜๐ด)) โ†” ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
3228, 30, 31sylancr 587 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 < (1 / (absโ€˜๐ด)) โ†” ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
3327, 32mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
3433rpreccld 13022 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
3534rpcnd 13014 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
36 divcnv 15795 . . . . 5 ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) โ‡ 0)
3735, 36syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) โ‡ 0)
38 nnex 12214 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
3938mptex 7221 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V
4039a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
41 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
42 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))
43 ovex 7438 . . . . . . 7 ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ V
4441, 42, 43fvmpt 6995 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
4544adantl 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
4634rpred 13012 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
47 nndivre 12249 . . . . . 6 (((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4846, 47sylan 580 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4945, 48eqeltrd 2833 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
50 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
51 eqid 2732 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))
52 ovex 7438 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
5350, 51, 52fvmpt 6995 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
5453adantl 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
55 nnz 12575 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
56 rpexpcl 14042 . . . . . . 7 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5725, 55, 56syl2an 596 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5854, 57eqeltrd 2833 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5958rpred 13012 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
60 nnrp 12981 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
61 rpmulcl 12993 . . . . . . . 8 ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„+) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6233, 60, 61syl2an 596 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6362rpred 13012 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
64 peano2re 11383 . . . . . . . . . 10 ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„ โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
66 rpexpcl 14042 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6729, 55, 66syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6867rpred 13012 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
6963lep1d 12141 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1))
7030adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
717adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7229rpge0d 13016 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด)))
7372adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด)))
74 bernneq2 14189 . . . . . . . . . 10 (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด))) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7663, 65, 68, 69, 75letrd 11367 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7725rpcnne0d 13021 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0))
78 exprec 14065 . . . . . . . . . 10 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
79783expa 1118 . . . . . . . . 9 ((((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8077, 55, 79syl2an 596 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8176, 80breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8262, 57, 81lerec2d 13033 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ‰ค (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8333rpcnne0d 13021 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โ‰  0))
84 nncn 12216 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
85 nnne0 12242 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
8684, 85jca 512 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0))
87 recdiv2 11923 . . . . . . 7 (((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โ‰  0) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0)) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) = (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8883, 86, 87syl2an 596 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) = (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8982, 88breqtrrd 5175 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ‰ค ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
9089, 54, 453brtr4d 5179 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜))
9158rpge0d 13016 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜))
921, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91climsqz2 15582 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
93 1zzd 12589 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
944a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
9539a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
967adantl 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9796, 11syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
98 expcl 14041 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9923, 7, 98syl2an 596 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
10097, 99eqeltrd 2833 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
101 absexp 15247 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
10223, 7, 101syl2an 596 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
10397fveq2d 6892 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
10453adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
105102, 103, 1043eqtr4rd 2783 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
1061, 93, 94, 95, 100, 105climabs0 15525 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0))
107106biimpar 478 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
10892, 107syldan 591 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
10919, 108pm2.61dane 3029 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  โ†‘cexp 14023  abscabs 15177   โ‡ cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429
This theorem is referenced by:  explecnv  15807  geolim  15812  geo2lim  15817  iscmet3lem3  24798  mbfi1fseqlem6  25229  geomcau  36615  stoweidlem7  44709
  Copyright terms: Public domain W3C validator