MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnv 15813
Description: A sequence of powers of a complex number ๐ด with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
expcnv.2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘›)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12866 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12594 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 nn0ex 12479 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
43mptex 7219 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V
54a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
6 0cnd 11208 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
7 nnnn0 12480 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
10 ovex 7437 . . . . . . 7 (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ V
118, 9, 10fvmpt 6991 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
127, 11syl 17 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
13 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
1413oveq1d 7419 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (0โ†‘๐‘˜))
1512, 14sylan9eqr 2788 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (0โ†‘๐‘˜))
16 0exp 14065 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘˜) = 0)
1716adantl 481 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (0โ†‘๐‘˜) = 0)
1815, 17eqtrd 2766 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = 0)
191, 2, 5, 6, 18climconst 15490 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
20 1zzd 12594 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
21 expcnv.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
23 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
24 absrpcl 15238 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2523, 24sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2625reclt1d 13032 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) < 1 โ†” 1 < (1 / (absโ€˜๐ด))))
2722, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 < (1 / (absโ€˜๐ด)))
28 1re 11215 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
2925rpreccld 13029 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
3029rpred 13019 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
31 difrp 13015 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (1 / (absโ€˜๐ด)) โ†” ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
3228, 30, 31sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 < (1 / (absโ€˜๐ด)) โ†” ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
3327, 32mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
3433rpreccld 13029 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
3534rpcnd 13021 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
36 divcnv 15802 . . . . 5 ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) โ‡ 0)
3735, 36syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) โ‡ 0)
38 nnex 12219 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
3938mptex 7219 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V
4039a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
41 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
42 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))
43 ovex 7437 . . . . . . 7 ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ V
4441, 42, 43fvmpt 6991 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
4544adantl 481 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
4634rpred 13019 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
47 nndivre 12254 . . . . . 6 (((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4846, 47sylan 579 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4945, 48eqeltrd 2827 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
50 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
51 eqid 2726 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))
52 ovex 7437 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
5350, 51, 52fvmpt 6991 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
5453adantl 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
55 nnz 12580 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
56 rpexpcl 14048 . . . . . . 7 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5725, 55, 56syl2an 595 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5854, 57eqeltrd 2827 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5958rpred 13019 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
60 nnrp 12988 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
61 rpmulcl 13000 . . . . . . . 8 ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„+) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6233, 60, 61syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6362rpred 13019 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
64 peano2re 11388 . . . . . . . . . 10 ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„ โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
66 rpexpcl 14048 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6729, 55, 66syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6867rpred 13019 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
6963lep1d 12146 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1))
7030adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
717adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7229rpge0d 13023 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด)))
7372adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด)))
74 bernneq2 14195 . . . . . . . . . 10 (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด))) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7663, 65, 68, 69, 75letrd 11372 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7725rpcnne0d 13028 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0))
78 exprec 14071 . . . . . . . . . 10 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
79783expa 1115 . . . . . . . . 9 ((((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8077, 55, 79syl2an 595 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8176, 80breqtrd 5167 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8262, 57, 81lerec2d 13040 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ‰ค (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8333rpcnne0d 13028 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โ‰  0))
84 nncn 12221 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
85 nnne0 12247 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
8684, 85jca 511 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0))
87 recdiv2 11928 . . . . . . 7 (((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โ‰  0) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0)) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) = (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8883, 86, 87syl2an 595 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) = (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8982, 88breqtrrd 5169 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ‰ค ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
9089, 54, 453brtr4d 5173 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜))
9158rpge0d 13023 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜))
921, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91climsqz2 15589 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
93 1zzd 12594 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
944a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
9539a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
967adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9796, 11syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
98 expcl 14047 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9923, 7, 98syl2an 595 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
10097, 99eqeltrd 2827 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
101 absexp 15254 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
10223, 7, 101syl2an 595 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
10397fveq2d 6888 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
10453adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
105102, 103, 1043eqtr4rd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
1061, 93, 94, 95, 100, 105climabs0 15532 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0))
107106biimpar 477 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
10892, 107syldan 590 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
10919, 108pm2.61dane 3023 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„+crp 12977  โ†‘cexp 14029  abscabs 15184   โ‡ cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436
This theorem is referenced by:  explecnv  15814  geolim  15819  geo2lim  15824  iscmet3lem3  25168  mbfi1fseqlem6  25600  geomcau  37139  stoweidlem7  45277
  Copyright terms: Public domain W3C validator