Theorem expcnv 15823

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value less than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)

Assertion

Ref	Expression
expcnv	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12821	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12552	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 1 ∈ ℤ)
3		nn0ex 12437	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	mptex 7172	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
6		0cnd 11131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℂ)
7		nnnn0 12438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		oveq2 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
10		ovex 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
14	13	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
15	12, 14	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (0↑𝑘))
16		0exp 14053	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
18	15, 17	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = 0)
19	1, 2, 5, 6, 18	climconst 15499	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
20		1zzd 12552	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
21		expcnv.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) < 1)
23		expcnv.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
24		absrpcl 15244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25	23, 24	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
26	25	reclt1d 12993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
28		1re 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	25	rpreccld 12990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		difrp 12976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
32	28, 30, 31	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
33	27, 32	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
34	33	rpreccld 12990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
35	34	rpcnd 12982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
36		divcnv 15812	. . . . 5 ⊢ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
38		nnex 12174	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
39	38	mptex 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
41		oveq2 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
42		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
43		ovex 7394	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ V
44	41, 42, 43	fvmpt 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
45	44	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
46	34	rpred 12980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
47		nndivre 12212	. . . . . 6 ⊢ (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 581	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
49	45, 48	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
50		oveq2 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
51		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
52		ovex 7394	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
53	50, 51, 52	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
54	53	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
55		nnz 12539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
56		rpexpcl 14036	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
57	25, 55, 56	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
58	54, 57	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 12980	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
60		nnrp 12948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
61		rpmulcl 12961	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
62	33, 60, 61	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
63	62	rpred 12980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
64		peano2re 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
66		rpexpcl 14036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
67	29, 55, 66	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
68	67	rpred 12980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
69	63	lep1d 12081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
70	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
71	7	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
72	29	rpge0d 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
74		bernneq2 14186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
75	70, 71, 73, 74	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
76	63, 65, 68, 69, 75	letrd 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
77	25	rpcnne0d 12989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0))
78		exprec 14059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
79	78	3expa 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
80	77, 55, 79	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
81	76, 80	breqtrd 5112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
82	62, 57, 81	lerec2d 13001	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
83	33	rpcnne0d 12989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0))
84		nncn 12176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
85		nnne0 12205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
86	84, 85	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
87		recdiv2 11862	. . . . . . 7 ⊢ (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
88	83, 86, 87	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
89	82, 88	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
90	89, 54, 45	3brtr4d 5118	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
91	58	rpge0d 12984	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
92	1, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91	climsqz2 15598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
93		1zzd 12552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
94	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
95	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
96	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97	96, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
98		expcl 14035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
99	23, 7, 98	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
100	97, 99	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101		absexp 15260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
102	23, 7, 101	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
103	97	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
104	53	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
105	102, 103, 104	3eqtr4rd 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
106	1, 93, 94, 95, 100, 105	climabs0 15541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
107	106	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
108	92, 107	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
109	19, 108	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℝ⁺crp 12936  ↑cexp 14017  abscabs 15190   ⇝ cli 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445

This theorem is referenced by:  explecnv  15824  geolim  15829  geo2lim  15834  iscmet3lem3  25270  mbfi1fseqlem6  25700  geomcau  38097  stoweidlem7  46456