MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnv 15756
Description: A sequence of powers of a complex number ๐ด with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
expcnv.2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘›)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12813 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12541 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 nn0ex 12426 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
43mptex 7178 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V
54a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
6 0cnd 11155 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
7 nnnn0 12427 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
9 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))
10 ovex 7395 . . . . . . 7 (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ V
118, 9, 10fvmpt 6953 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
127, 11syl 17 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
13 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
1413oveq1d 7377 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (0โ†‘๐‘˜))
1512, 14sylan9eqr 2799 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (0โ†‘๐‘˜))
16 0exp 14010 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘˜) = 0)
1716adantl 483 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (0โ†‘๐‘˜) = 0)
1815, 17eqtrd 2777 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = 0)
191, 2, 5, 6, 18climconst 15432 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
20 1zzd 12541 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
21 expcnv.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
23 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
24 absrpcl 15180 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2523, 24sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2625reclt1d 12977 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) < 1 โ†” 1 < (1 / (absโ€˜๐ด))))
2722, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 < (1 / (absโ€˜๐ด)))
28 1re 11162 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
2925rpreccld 12974 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
3029rpred 12964 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
31 difrp 12960 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (1 / (absโ€˜๐ด)) โ†” ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
3228, 30, 31sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 < (1 / (absโ€˜๐ด)) โ†” ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
3327, 32mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
3433rpreccld 12974 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
3534rpcnd 12966 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
36 divcnv 15745 . . . . 5 ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) โ‡ 0)
3735, 36syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) โ‡ 0)
38 nnex 12166 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
3938mptex 7178 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V
4039a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
41 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
42 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))
43 ovex 7395 . . . . . . 7 ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ V
4441, 42, 43fvmpt 6953 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
4544adantl 483 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
4634rpred 12964 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
47 nndivre 12201 . . . . . 6 (((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4846, 47sylan 581 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4945, 48eqeltrd 2838 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
50 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
51 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))
52 ovex 7395 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
5350, 51, 52fvmpt 6953 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
5453adantl 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
55 nnz 12527 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
56 rpexpcl 13993 . . . . . . 7 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5725, 55, 56syl2an 597 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5854, 57eqeltrd 2838 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5958rpred 12964 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
60 nnrp 12933 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
61 rpmulcl 12945 . . . . . . . 8 ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„+) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6233, 60, 61syl2an 597 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6362rpred 12964 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
64 peano2re 11335 . . . . . . . . . 10 ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„ โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
66 rpexpcl 13993 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6729, 55, 66syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
6867rpred 12964 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
6963lep1d 12093 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1))
7030adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
717adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7229rpge0d 12968 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด)))
7372adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด)))
74 bernneq2 14140 . . . . . . . . . 10 (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค (1 / (absโ€˜๐ด))) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) + 1) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7663, 65, 68, 69, 75letrd 11319 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜))
7725rpcnne0d 12973 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0))
78 exprec 14016 . . . . . . . . . 10 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
79783expa 1119 . . . . . . . . 9 ((((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8077, 55, 79syl2an 597 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (absโ€˜๐ด))โ†‘๐‘˜) = (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8176, 80breqtrd 5136 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜) โ‰ค (1 / ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8262, 57, 81lerec2d 12985 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ‰ค (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8333rpcnne0d 12973 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โ‰  0))
84 nncn 12168 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
85 nnne0 12194 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
8684, 85jca 513 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0))
87 recdiv2 11875 . . . . . . 7 (((((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) โ‰  0) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0)) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) = (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8883, 86, 87syl2an 597 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜) = (1 / (((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1) ยท ๐‘˜)))
8982, 88breqtrrd 5138 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ‰ค ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘˜))
9089, 54, 453brtr4d 5142 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((1 / (absโ€˜๐ด)) โˆ’ 1)) / ๐‘›))โ€˜๐‘˜))
9158rpge0d 12968 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜))
921, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91climsqz2 15531 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
93 1zzd 12541 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
944a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
9539a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V)
967adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9796, 11syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
98 expcl 13992 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9923, 7, 98syl2an 597 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
10097, 99eqeltrd 2838 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
101 absexp 15196 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
10223, 7, 101syl2an 597 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
10397fveq2d 6851 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
10453adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
105102, 103, 1043eqtr4rd 2788 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
1061, 93, 94, 95, 100, 105climabs0 15474 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0))
107106biimpar 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) โ‡ 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
10892, 107syldan 592 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
10919, 108pm2.61dane 3033 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126   โ‡ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378
This theorem is referenced by:  explecnv  15757  geolim  15762  geo2lim  15767  iscmet3lem3  24670  mbfi1fseqlem6  25101  geomcau  36247  stoweidlem7  44322
  Copyright terms: Public domain W3C validator