Theorem expcnv 15000

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)

Assertion

Ref	Expression
expcnv	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12029	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11760	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 1 ∈ ℤ)
3		nn0ex 11649	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	mptex 6758	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
6		0cnd 10369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℂ)
7		nnnn0 11650	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		oveq2 6930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
9		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
10		ovex 6954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6542	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
13		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
14	13	oveq1d 6937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
15	12, 14	sylan9eqr 2836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (0↑𝑘))
16		0exp 13213	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
17	16	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
18	15, 17	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = 0)
19	1, 2, 5, 6, 18	climconst 14682	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
20		1zzd 11760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
21		expcnv.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
22	21	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) < 1)
23		expcnv.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
24		absrpcl 14435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25	23, 24	sylan 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
26	25	reclt1d 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
27	22, 26	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
28		1re 10376	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	25	rpreccld 12191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		difrp 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
32	28, 30, 31	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
33	27, 32	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
34	33	rpreccld 12191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
35	34	rpcnd 12183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
36		divcnv 14989	. . . . 5 ⊢ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
38		nnex 11381	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
39	38	mptex 6758	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
41		oveq2 6930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
42		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
43		ovex 6954	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ V
44	41, 42, 43	fvmpt 6542	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
45	44	adantl 475	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
46	34	rpred 12181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
47		nndivre 11416	. . . . . 6 ⊢ (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 575	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
49	45, 48	eqeltrd 2859	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
50		oveq2 6930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
51		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
52		ovex 6954	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
53	50, 51, 52	fvmpt 6542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
54	53	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
55		nnz 11751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
56		rpexpcl 13197	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
57	25, 55, 56	syl2an 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
58	54, 57	eqeltrd 2859	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 12181	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
60		nnrp 12150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
61		rpmulcl 12162	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
62	33, 60, 61	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
63	62	rpred 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
64		peano2re 10549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
66		rpexpcl 13197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
67	29, 55, 66	syl2an 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
68	67	rpred 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
69	63	lep1d 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
70	30	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
71	7	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
72	29	rpge0d 12185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
73	72	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
74		bernneq2 13310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
75	70, 71, 73, 74	syl3anc 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
76	63, 65, 68, 69, 75	letrd 10533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
77	25	rpcnne0d 12190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0))
78		exprec 13219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
79	78	3expa 1108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
80	77, 55, 79	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
81	76, 80	breqtrd 4912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
82	62, 57, 81	lerec2d 12202	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
83	33	rpcnne0d 12190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0))
84		nncn 11383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
85		nnne0 11410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
86	84, 85	jca 507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
87		recdiv2 11088	. . . . . . 7 ⊢ (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
88	83, 86, 87	syl2an 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
89	82, 88	breqtrrd 4914	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
90	89, 54, 45	3brtr4d 4918	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
91	58	rpge0d 12185	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
92	1, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91	climsqz2 14780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
93		1zzd 11760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
94	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
95	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
96	7	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97	96, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
98		expcl 13196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
99	23, 7, 98	syl2an 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
100	97, 99	eqeltrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101		absexp 14451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
102	23, 7, 101	syl2an 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
103	97	fveq2d 6450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
104	53	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
105	102, 103, 104	3eqtr4rd 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
106	1, 93, 94, 95, 100, 105	climabs0 14724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
107	106	biimpar 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
108	92, 107	syldan 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
109	19, 108	pm2.61dane 3057	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606   / cdiv 11032  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ℝ⁺crp 12137  ↑cexp 13178  abscabs 14381   ⇝ cli 14623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628

This theorem is referenced by:  explecnv  15001  geolim  15005  geo2lim  15010  iscmet3lem3  23496  mbfi1fseqlem6  23924  geomcau  34179  stoweidlem7  41151