MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnv 15900
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12921 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → 1 ∈ ℤ)
3 nn0ex 12532 . . . . 5 0 ∈ V
43mptex 7243 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
54a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
6 0cnd 11254 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℂ)
7 nnnn0 12533 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
9 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
10 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐴𝑘) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
127, 11syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
13 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
1413oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
1512, 14sylan9eqr 2799 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (0↑𝑘))
16 0exp 14138 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1716adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
1815, 17eqtrd 2777 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = 0)
191, 2, 5, 6, 18climconst 15579 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
20 1zzd 12648 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
21 expcnv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) < 1)
23 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
24 absrpcl 15327 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2523, 24sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2625reclt1d 13090 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
2722, 26mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
28 1re 11261 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
2925rpreccld 13087 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3029rpred 13077 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
31 difrp 13073 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
3228, 30, 31sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
3327, 32mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
3433rpreccld 13087 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
3534rpcnd 13079 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
36 divcnv 15889 . . . . 5 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
3735, 36syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
38 nnex 12272 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3938mptex 7243 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
41 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
42 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
43 ovex 7464 . . . . . . 7 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
4544adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
4634rpred 13077 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
47 nndivre 12307 . . . . . 6 (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
4846, 47sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
4945, 48eqeltrd 2841 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
50 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
51 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
52 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5453adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
55 nnz 12634 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
56 rpexpcl 14121 . . . . . . 7 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5725, 55, 56syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5854, 57eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
5958rpred 13077 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
60 nnrp 13046 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
61 rpmulcl 13058 . . . . . . . 8 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
6233, 60, 61syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
6362rpred 13077 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
64 peano2re 11434 . . . . . . . . . 10 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
66 rpexpcl 14121 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
6729, 55, 66syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
6867rpred 13077 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
6963lep1d 12199 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
7030adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
717adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7229rpge0d 13081 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
7372adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
74 bernneq2 14269 . . . . . . . . . 10 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7663, 65, 68, 69, 75letrd 11418 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7725rpcnne0d 13086 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0))
78 exprec 14144 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
79783expa 1119 . . . . . . . . 9 ((((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8077, 55, 79syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8176, 80breqtrd 5169 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8262, 57, 81lerec2d 13098 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8333rpcnne0d 13086 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0))
84 nncn 12274 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
85 nnne0 12300 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
8684, 85jca 511 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
87 recdiv2 11980 . . . . . . 7 (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8883, 86, 87syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8982, 88breqtrrd 5171 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
9089, 54, 453brtr4d 5175 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
9158rpge0d 13081 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
921, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91climsqz2 15678 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
93 1zzd 12648 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
944a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
9539a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
967adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9796, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
98 expcl 14120 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9923, 7, 98syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
10097, 99eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101 absexp 15343 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
10223, 7, 101syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
10397fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
10453adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
105102, 103, 1043eqtr4rd 2788 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
1061, 93, 94, 95, 100, 105climabs0 15621 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
107106biimpar 477 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10892, 107syldan 591 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10919, 108pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  explecnv  15901  geolim  15906  geo2lim  15911  iscmet3lem3  25324  mbfi1fseqlem6  25755  geomcau  37766  stoweidlem7  46022
  Copyright terms: Public domain W3C validator