MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnv 15897
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12919 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12646 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → 1 ∈ ℤ)
3 nn0ex 12530 . . . . 5 0 ∈ V
43mptex 7243 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
54a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
6 0cnd 11252 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℂ)
7 nnnn0 12531 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
9 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
10 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐴𝑘) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
127, 11syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
13 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
1413oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
1512, 14sylan9eqr 2797 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (0↑𝑘))
16 0exp 14135 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1716adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
1815, 17eqtrd 2775 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = 0)
191, 2, 5, 6, 18climconst 15576 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
20 1zzd 12646 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
21 expcnv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) < 1)
23 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
24 absrpcl 15324 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2523, 24sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2625reclt1d 13088 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
2722, 26mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
28 1re 11259 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
2925rpreccld 13085 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3029rpred 13075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
31 difrp 13071 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
3228, 30, 31sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
3327, 32mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
3433rpreccld 13085 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
3534rpcnd 13077 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
36 divcnv 15886 . . . . 5 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
3735, 36syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
38 nnex 12270 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3938mptex 7243 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
41 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
42 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
43 ovex 7464 . . . . . . 7 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
4544adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
4634rpred 13075 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
47 nndivre 12305 . . . . . 6 (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
4846, 47sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
4945, 48eqeltrd 2839 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
50 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
51 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
52 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5453adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
55 nnz 12632 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
56 rpexpcl 14118 . . . . . . 7 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5725, 55, 56syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5854, 57eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
5958rpred 13075 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
60 nnrp 13044 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
61 rpmulcl 13056 . . . . . . . 8 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
6233, 60, 61syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
6362rpred 13075 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
64 peano2re 11432 . . . . . . . . . 10 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
66 rpexpcl 14118 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
6729, 55, 66syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
6867rpred 13075 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
6963lep1d 12197 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
7030adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
717adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7229rpge0d 13079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
7372adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
74 bernneq2 14266 . . . . . . . . . 10 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7663, 65, 68, 69, 75letrd 11416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7725rpcnne0d 13084 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0))
78 exprec 14141 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
79783expa 1117 . . . . . . . . 9 ((((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8077, 55, 79syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8176, 80breqtrd 5174 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8262, 57, 81lerec2d 13096 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8333rpcnne0d 13084 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0))
84 nncn 12272 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
85 nnne0 12298 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
8684, 85jca 511 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
87 recdiv2 11978 . . . . . . 7 (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8883, 86, 87syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8982, 88breqtrrd 5176 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
9089, 54, 453brtr4d 5180 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
9158rpge0d 13079 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
921, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91climsqz2 15675 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
93 1zzd 12646 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
944a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
9539a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
967adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9796, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
98 expcl 14117 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9923, 7, 98syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
10097, 99eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101 absexp 15340 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
10223, 7, 101syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
10397fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
10453adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
105102, 103, 1043eqtr4rd 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
1061, 93, 94, 95, 100, 105climabs0 15618 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
107106biimpar 477 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10892, 107syldan 591 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10919, 108pm2.61dane 3027 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  cexp 14099  abscabs 15270  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  explecnv  15898  geolim  15903  geo2lim  15908  iscmet3lem3  25338  mbfi1fseqlem6  25770  geomcau  37746  stoweidlem7  45963
  Copyright terms: Public domain W3C validator