Theorem f1rhm0to0ALT 19900

Description: Alternate proof for f1ghm0to0 19899. Using ghmf1 18778 does not make the proof shorter and requires disjoint variable restrictions! (Contributed by AV, 24-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
gim0to0ALT.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
gim0to0ALT.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gim0to0ALT.n	⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
gim0to0ALT.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
f1rhm0to0ALT	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem f1rhm0to0ALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 19884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3		gim0to0ALT.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
4		gim0to0ALT.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		gim0to0ALT.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		gim0to0ALT.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
7	3, 4, 5, 6	ghmf1 18778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 )))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 )))
9		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
10	9	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑁))
11		eqeq1 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
13	12	rspcv 3547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
15	8, 14	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))))
17	16	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))))
18	17	3imp 1109	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))
19		fveq2 6756	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘ 0 ))
20	5, 6	ghmid 18755	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
21	1, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
22	21	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
23	19, 22	sylan9eqr 2801	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐹‘𝑋) = 𝑁)
24	23	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝐹‘𝑋) = 𝑁))
25	18, 24	impbid 211	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  0_gc0g 17067   GrpHom cghm 18746   RingHom crh 19871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-rnghom 19874

This theorem is referenced by: (None)