Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1rhm0to0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1rhm0to0ALT 19549
 Description: Alternate proof for f1ghm0to0 19548. Using ghmf1 18439 does not make the proof shorter and requires disjoint variable restrictions! (Contributed by AV, 24-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gim0to0ALT.a 𝐴 = (Base‘𝑅)
gim0to0ALT.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gim0to0ALT.n 𝑁 = (0g𝑆)
gim0to0ALT.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
f1rhm0to0ALT ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem f1rhm0to0ALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmghm 19533 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
21adantr 485 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3 gim0to0ALT.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Base‘𝑅)
4 gim0to0ALT.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 gim0to0ALT.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
6 gim0to0ALT.n . . . . . . . 8 𝑁 = (0g𝑆)
73, 4, 5, 6ghmf1 18439 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 )))
82, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 )))
9 fveq2 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
109eqeq1d 2761 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) = 𝑁 ↔ (𝐹𝑋) = 𝑁))
11 eqeq1 2763 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0𝑋 = 0 ))
1210, 11imbi12d 349 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 )))
1312rspcv 3534 . . . . . . 7 (𝑋𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 ) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 )))
1413adantl 486 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) = 𝑁𝑥 = 0 ) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 )))
158, 14sylbid 243 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 )))
1615ex 417 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑋𝐴 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))))
1716com23 86 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝑋𝐴 → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))))
18173imp 1109 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))
19 fveq2 6651 . . . 4 (𝑋 = 0 → (𝐹𝑋) = (𝐹0 ))
205, 6ghmid 18416 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹0 ) = 𝑁)
211, 20syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹0 ) = 𝑁)
22213ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → (𝐹0 ) = 𝑁)
2319, 22sylan9eqr 2816 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐹𝑋) = 𝑁)
2423ex 417 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝐹𝑋) = 𝑁))
2518, 24impbid 215 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3068  –1-1→wf1 6325  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Basecbs 16526  0gc0g 16756   GrpHom cghm 18407   RingHom crh 19520 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-plusg 16621  df-0g 16758  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-mhm 18007  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-ghm 18408  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-rnghom 19523 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator