Theorem f1rhm0to0ALT 20272

Description: Alternate proof for f1ghm0to0 20271. Using ghmf1 19115 does not make the proof shorter and requires disjoint variable restrictions! (Contributed by AV, 24-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
gim0to0ALT.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
gim0to0ALT.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gim0to0ALT.n	⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
gim0to0ALT.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
f1rhm0to0ALT	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem f1rhm0to0ALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3		gim0to0ALT.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
4		gim0to0ALT.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		gim0to0ALT.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		gim0to0ALT.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
7	3, 4, 5, 6	ghmf1 19115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 )))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 )))
9		fveq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
10	9	eqeq1d 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑁))
11		eqeq1 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
13	12	rspcv 3608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
14	13	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = 𝑁 → 𝑥 = 0 ) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
15	8, 14	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 )))
16	15	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))))
17	16	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))))
18	17	3imp 1111	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 → 𝑋 = 0 ))
19		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘ 0 ))
20	5, 6	ghmid 19092	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
21	1, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑁)
23	19, 22	sylan9eqr 2794	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐹‘𝑋) = 𝑁)
24	23	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝐹‘𝑋) = 𝑁))
25	18, 24	impbid 211	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 𝑁 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  0_gc0g 17381   GrpHom cghm 19083   RingHom crh 20240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-rnghom 20243

This theorem is referenced by: (None)