Theorem faclbnd4lem2 14445

Description: Lemma for faclbnd4 14448. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 14444 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))

Proof of Theorem faclbnd4lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑁 − 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1)))
2	1	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))))
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1))
4		oveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀 + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))
5	3, 4	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾)))
6	5	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))))
7	6	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))))
8	2, 7	breq12d 5115	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))))
9		oveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁))
10	9	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) = ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)))
11		oveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀 + (𝐾 + 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))
12	3, 11	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1))))
13	12	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))))
14	13	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
15	10, 14	breq12d 5115	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))
16	8, 15	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))))
17		oveq2 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝑁 − 1)↑𝐾) = ((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
18	17	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))))
19		oveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝐾↑2) = (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2))
20	19	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)))
21		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
22	21	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1))))
23	20, 22	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) = ((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))))
24	23	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))))
25	18, 24	breq12d 5115	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1)))))
26		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝐾 + 1) = (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1))
27	26	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = (𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
28	27	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) = ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)))
29	26	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝐾 + 1)↑2) = ((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2))
30	29	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (2↑((𝐾 + 1)↑2)) = (2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)))
31	26	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
32	31	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1))) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1))))
33	30, 32	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) = ((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))))
34	33	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)))
35	28, 34	breq12d 5115	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁))))
36	25, 35	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)))))
37		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 − 1) = (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))
38	37	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) = ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
39	37	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))
40	38, 39	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) = (((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))))
41		fvoveq1 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))
42	41	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))))
43	40, 42	breq12d 5115	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))))
44		oveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) = (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
45		oveq2 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
46	44, 45	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) = ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
47		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (!‘𝑁) = (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
48	47	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
49	46, 48	breq12d 5115	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))))
50	43, 49	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))))
51		1nn 12353	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
52	51	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
53		1nn0 12629	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
54	53	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) ∈ ℕ0
55	53	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) ∈ ℕ0
56	52, 54, 55	faclbnd4lem1 14444	. 2 ⊢ ((((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
57	16, 36, 50, 56	dedth3h 4542	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   ≤ cle 11351   − cmin 11548  ℕcn 12342  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ↑cexp 14211  !cfa 14424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425

This theorem is used by:  faclbnd4lem4  14447