MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem2 14280
Description: Lemma for faclbnd4 14283. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 14279 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))

Proof of Theorem faclbnd4lem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 7420 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
21oveq2d 7429 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
3 id 22 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1))
4 oveq1 7420 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))
53, 4oveq12d 7431 . . . . . 6 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ)))
65oveq2d 7429 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) = ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))))
76oveq1d 7428 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
82, 7breq12d 5157 . . 3 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
9 oveq1 7420 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘))
109oveq2d 7429 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) = ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)))
11 oveq1 7420 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€ + (๐พ + 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))
123, 11oveq12d 7431 . . . . . 6 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1))) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1))))
1312oveq2d 7429 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) = ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))))
1413oveq1d 7428 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
1510, 14breq12d 5157 . . 3 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
168, 15imbi12d 343 . 2 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
17 oveq2 7421 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) = ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
1817oveq1d 7428 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
19 oveq1 7420 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐พโ†‘2) = (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2))
2019oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) = (2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)))
21 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
2221oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1))))
2320, 22oveq12d 7431 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) = ((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))))
2423oveq1d 7428 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
2518, 24breq12d 5157 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
26 oveq1 7420 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐พ + 1) = (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1))
2726oveq2d 7429 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐‘โ†‘(๐พ + 1)) = (๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
2827oveq1d 7428 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) = ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)))
2926oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐พ + 1)โ†‘2) = ((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2))
3029oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) = (2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)))
3126oveq2d 7429 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
3231oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1))) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1))))
3330, 32oveq12d 7431 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) = ((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))))
3433oveq1d 7428 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
3528, 34breq12d 5157 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
3625, 35imbi12d 343 . 2 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
37 oveq1 7420 . . . . . 6 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))
3837oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) = ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
3937oveq2d 7429 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))
4038, 39oveq12d 7431 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))))
41 fvoveq1 7436 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))
4241oveq2d 7429 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))))
4340, 42breq12d 5157 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))))
44 oveq1 7420 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) = (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
45 oveq2 7421 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))
4644, 45oveq12d 7431 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) = ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
47 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (!โ€˜๐‘) = (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))
4847oveq2d 7429 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
4946, 48breq12d 5157 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))))
5043, 49imbi12d 343 . 2 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))))
51 1nn 12248 . . . 4 1 โˆˆ โ„•
5251elimel 4594 . . 3 if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆˆ โ„•
53 1nn0 12513 . . . 4 1 โˆˆ โ„•0
5453elimel 4594 . . 3 if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โˆˆ โ„•0
5553elimel 4594 . . 3 if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โˆˆ โ„•0
5652, 54, 55faclbnd4lem1 14279 . 2 ((((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
5716, 36, 50, 56dedth3h 4585 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4525   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„•0cn0 12497  โ†‘cexp 14053  !cfa 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14282
  Copyright terms: Public domain W3C validator