MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem2 14200
Description: Lemma for faclbnd4 14203. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 14199 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))

Proof of Theorem faclbnd4lem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
21oveq2d 7374 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
3 id 22 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1))
4 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))
53, 4oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ)))
65oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) = ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))))
76oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
82, 7breq12d 5119 . . 3 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
9 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘))
109oveq2d 7374 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) = ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)))
11 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€ + (๐พ + 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))
123, 11oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1))) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1))))
1312oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) = ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))))
1413oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
1510, 14breq12d 5119 . . 3 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
168, 15imbi12d 345 . 2 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
17 oveq2 7366 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) = ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
1817oveq1d 7373 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
19 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐พโ†‘2) = (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2))
2019oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) = (2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)))
21 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
2221oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1))))
2320, 22oveq12d 7376 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) = ((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))))
2423oveq1d 7373 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
2518, 24breq12d 5119 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
26 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐พ + 1) = (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1))
2726oveq2d 7374 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐‘โ†‘(๐พ + 1)) = (๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
2827oveq1d 7373 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) = ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)))
2926oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐พ + 1)โ†‘2) = ((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2))
3029oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) = (2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)))
3126oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
3231oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1))) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1))))
3330, 32oveq12d 7376 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) = ((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))))
3433oveq1d 7373 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
3528, 34breq12d 5119 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
3625, 35imbi12d 345 . 2 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
37 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))
3837oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) = ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
3937oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))
4038, 39oveq12d 7376 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))))
41 fvoveq1 7381 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))
4241oveq2d 7374 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))))
4340, 42breq12d 5119 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))))
44 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) = (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
45 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))
4644, 45oveq12d 7376 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) = ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
47 fveq2 6843 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (!โ€˜๐‘) = (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))
4847oveq2d 7374 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
4946, 48breq12d 5119 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))))
5043, 49imbi12d 345 . 2 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))))
51 1nn 12169 . . . 4 1 โˆˆ โ„•
5251elimel 4556 . . 3 if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆˆ โ„•
53 1nn0 12434 . . . 4 1 โˆˆ โ„•0
5453elimel 4556 . . 3 if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โˆˆ โ„•0
5553elimel 4556 . . 3 if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โˆˆ โ„•0
5652, 54, 55faclbnd4lem1 14199 . 2 ((((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
5716, 36, 50, 56dedth3h 4547 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14202
  Copyright terms: Public domain W3C validator