Theorem faclbnd4lem2 14229

Description: Lemma for faclbnd4 14232. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 14228 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))

Proof of Theorem faclbnd4lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑁 − 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1)))
2	1	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))))
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1))
4		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀 + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))
5	3, 4	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾)))
6	5	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))))
7	6	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))))
8	2, 7	breq12d 5113	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))))
9		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁))
10	9	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) = ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)))
11		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀 + (𝐾 + 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))
12	3, 11	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1))))
13	12	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))))
14	13	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
15	10, 14	breq12d 5113	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))
16	8, 15	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))))
17		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝑁 − 1)↑𝐾) = ((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
18	17	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))))
19		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝐾↑2) = (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2))
20	19	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)))
21		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
22	21	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1))))
23	20, 22	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) = ((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))))
24	23	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))))
25	18, 24	breq12d 5113	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1)))))
26		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝐾 + 1) = (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1))
27	26	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = (𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
28	27	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) = ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)))
29	26	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝐾 + 1)↑2) = ((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2))
30	29	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (2↑((𝐾 + 1)↑2)) = (2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)))
31	26	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
32	31	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1))) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1))))
33	30, 32	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) = ((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))))
34	33	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)))
35	28, 34	breq12d 5113	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁))))
36	25, 35	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)))))
37		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 − 1) = (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))
38	37	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) = ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
39	37	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))
40	38, 39	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) = (((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))))
41		fvoveq1 7391	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))
42	41	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))))
43	40, 42	breq12d 5113	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))))
44		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) = (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
45		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
46	44, 45	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) = ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
47		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (!‘𝑁) = (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
48	47	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
49	46, 48	breq12d 5113	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))))
50	43, 49	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))))
51		1nn 12168	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
52	51	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
53		1nn0 12429	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
54	53	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) ∈ ℕ0
55	53	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) ∈ ℕ0
56	52, 54, 55	faclbnd4lem1 14228	. 2 ⊢ ((((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
57	16, 36, 50, 56	dedth3h 4542	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996  !cfa 14208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14231