MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem2 14271
Description: Lemma for faclbnd4 14274. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 14270 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))

Proof of Theorem faclbnd4lem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 7421 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
21oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
3 id 22 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1))
4 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))
53, 4oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ)))
65oveq2d 7430 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) = ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))))
76oveq1d 7429 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
82, 7breq12d 5155 . . 3 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
9 oveq1 7421 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘))
109oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) = ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)))
11 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€ + (๐พ + 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))
123, 11oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1))) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1))))
1312oveq2d 7430 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) = ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))))
1413oveq1d 7429 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
1510, 14breq12d 5155 . . 3 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
168, 15imbi12d 344 . 2 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
17 oveq2 7422 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) = ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
1817oveq1d 7429 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
19 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐พโ†‘2) = (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2))
2019oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) = (2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)))
21 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
2221oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1))))
2320, 22oveq12d 7432 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) = ((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))))
2423oveq1d 7429 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
2518, 24breq12d 5155 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
26 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐พ + 1) = (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1))
2726oveq2d 7430 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (๐‘โ†‘(๐พ + 1)) = (๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
2827oveq1d 7429 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) = ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)))
2926oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((๐พ + 1)โ†‘2) = ((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2))
3029oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) = (2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)))
3126oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
3231oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1))) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1))))
3330, 32oveq12d 7432 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ ((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) = ((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))))
3433oveq1d 7429 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
3528, 34breq12d 5155 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
3625, 35imbi12d 344 . 2 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
37 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))
3837oveq1d 7429 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) = ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))
3937oveq2d 7430 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))
4038, 39oveq12d 7432 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))))
41 fvoveq1 7437 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))
4241oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))))
4340, 42breq12d 5155 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)))))
44 oveq1 7421 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) = (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))
45 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))
4644, 45oveq12d 7432 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) = ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
47 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (!โ€˜๐‘) = (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))
4847oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
4946, 48breq12d 5155 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))))
5043, 49imbi12d 344 . 2 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†” ((((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))))
51 1nn 12239 . . . 4 1 โˆˆ โ„•
5251elimel 4593 . . 3 if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆˆ โ„•
53 1nn0 12504 . . . 4 1 โˆˆ โ„•0
5453elimel 4593 . . 3 if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) โˆˆ โ„•0
5553elimel 4593 . . 3 if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) โˆˆ โ„•0
5652, 54, 55faclbnd4lem1 14270 . 2 ((((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1)โ†‘if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1)))) ยท (!โ€˜(if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)โ†‘(if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))) โ‰ค (((2โ†‘((if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)โ†‘2)) ยท (if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1)โ†‘(if(๐‘€ โˆˆ โ„•0, ๐‘€, 1) + (if(๐พ โˆˆ โ„•0, ๐พ, 1) + 1)))) ยท (!โ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
5716, 36, 50, 56dedth3h 4584 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐พ + 1)) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘((๐พ + 1)โ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + (๐พ + 1)))) ยท (!โ€˜๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  โ†‘cexp 14044  !cfa 14250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14273
  Copyright terms: Public domain W3C validator