Theorem fincygsubgd 19216

Description: The subgroup referenced in fincygsubgodd 19217 is a subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
fincygsubgd.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
fincygsubgd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgd	⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgd.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		fincygsubgd.2	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		fincygsubgd.3	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
4		fincygsubgd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		fincygsubgd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12073	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
7		fincygsubgd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 4, 6, 7	mulgcld 18232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 8	cycsubgcld 18335	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5132  ran crn 5542  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ℕcn 11624  ℤcz 11968  Basecbs 16466  Grpcgrp 18086  ._gcmg 18207  SubGrpcsubg 18256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-seq 13360  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-0g 16698  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-grp 18089  df-minusg 18090  df-mulg 18208  df-subg 18259

This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  19218