Theorem cycsubgcld 19290

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a subgroup. Deduction related to cycsubgcl 19287. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubgcld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubgcld.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubgcld.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
cycsubgcld.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
cycsubgcld.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cycsubgcld	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   · ,𝑛   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem cycsubgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubgcld.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		cycsubgcld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		cycsubgcld.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		cycsubgcld.2	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		cycsubgcld.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
6	3, 4, 5	cycsubgcl 19287	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
8	7	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5195  ran crn 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℤcz 12601  Basecbs 17279  Grpcgrp 19010  ._gcmg 19143  SubGrpcsubg 19196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-seq 14049  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-0g 17504  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-mulg 19144  df-subg 19199

This theorem is used by:  ablsimpg1gend  20187  fincygsubgd  20193