Theorem cycsubgcld 18718

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a subgroup. Deduction related to cycsubgcl 18715. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubgcld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubgcld.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubgcld.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
cycsubgcld.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
cycsubgcld.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cycsubgcld	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   · ,𝑛   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem cycsubgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubgcld.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		cycsubgcld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		cycsubgcld.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		cycsubgcld.2	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		cycsubgcld.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
6	3, 4, 5	cycsubgcl 18715	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
7	1, 2, 6	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
8	7	simpld 498	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ↦ cmpt 5152  ran crn 5580  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  ℤcz 12224  Basecbs 16815  Grpcgrp 18467  ._gcmg 18590  SubGrpcsubg 18639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-fz 13144  df-seq 13625  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-ress 16843  df-plusg 16876  df-0g 17044  df-mgm 18216  df-sgrp 18265  df-mnd 18276  df-grp 18470  df-minusg 18471  df-mulg 18591  df-subg 18642

This theorem is referenced by:  ablsimpg1gend  19598  fincygsubgd  19604