Theorem ablsimpgfind 20145

Description: An abelian simple group is finite. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfind.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfind.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfind.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfind	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ablsimpgfind

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
2	1	iffalsed 4542	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = 0)
3		ablsimpgfind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		ablsimpgfind.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6	3, 4, 5	simpgnideld 20134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
7		neqne 2946	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
8	7	reximi 3082	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
10		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
11		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
14		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ablsimpgfind.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
17	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
18	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
20	19	neneqd 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	3, 4, 10, 16, 17, 18, 20, 21	ablsimpg1gend 20140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
25	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝐺 ∈ Grp)
26		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	3, 10, 25, 26, 27	mulgcld 19127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29	24, 28	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	rexlimdvaa 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
31	23, 30	impbid 212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
32	31	eqabdv 2873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)})
33		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
34	33	rnmpt 5971	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)}
35	32, 34	eqtr4di 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
36	3, 10, 11, 13, 14, 35	cycsubggenodd 20144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
37	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem2 20143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
38	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem1 20142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) ≠ (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
39	37, 38	pm2.61dane 3027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
40	39	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
41	36, 40	eqnetrrd 3007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
42	9, 41	rexlimddv 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
43	42	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
44	2, 43	pm2.21ddne 3024	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ⊥)
45	44	efald 1558	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊥wfal 1549   ∈ wcel 2106  {cab 2712   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  ifcif 4531   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  2c2 12319  ℤcz 12611  ♯chash 14366  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  ._gcmg 19098  odcod 19557  Abelcabl 19814  SimpGrpcsimpg 20125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-simpg 20126

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20150