Theorem ablsimpgfind 20238

Description: An abelian simple group is finite. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfind.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfind.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfind.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfind	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ablsimpgfind

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
2	1	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = 0)
3		ablsimpgfind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		ablsimpgfind.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6	3, 4, 5	simpgnideld 20227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
7		neqne 2965	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
8	7	reximi 3102	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
10		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
11		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
14		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ablsimpgfind.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
17	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
18	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
20	19	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	3, 4, 10, 16, 17, 18, 20, 21	ablsimpg1gend 20233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
23	22	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
25	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝐺 ∈ Grp)
26		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	3, 10, 25, 26, 27	mulgcld 19218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29	24, 28	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	rexlimdvaa 3166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
31	23, 30	impbid 215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
32	31	eqabdv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)})
33		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
34	33	rnmpt 5945	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)}
35	32, 34	eqtr4di 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
36	3, 10, 11, 13, 14, 35	cycsubggenodd 20237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
37	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem2 20236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
38	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem1 20235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) ≠ (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
39	37, 38	pm2.61dane 3044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
40	39	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
41	36, 40	eqnetrrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
42	9, 41	rexlimddv 3171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
43	42	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
44	2, 43	pm2.21ddne 3041	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ⊥)
45	44	efald 1591	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  0cc0 11125  2c2 12320  ℤcz 12616  ♯chash 14394  Basecbs 17303  0_gc0g 17526  Grpcgrp 19056  ._gcmg 19189  odcod 19650  Abelcabl 19907  SimpGrpcsimpg 20218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16345  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-nsg 19246  df-od 19654  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-simpg 20219

This theorem is used by:  ablsimpgprmd  20243