Theorem ablsimpgfind 20184

Description: An abelian simple group is finite. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfind.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfind.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfind.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfind	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ablsimpgfind

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
2	1	iffalsed 4503	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = 0)
3		ablsimpgfind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		ablsimpgfind.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6	3, 4, 5	simpgnideld 20173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
7		neqne 2972	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
8	7	reximi 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
10		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
11		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
14		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ablsimpgfind.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
17	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
18	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
20	19	neneqd 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
21		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	3, 4, 10, 16, 17, 18, 20, 21	ablsimpg1gend 20179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
23	22	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
25	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝐺 ∈ Grp)
26		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	3, 10, 25, 26, 27	mulgcld 19164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29	24, 28	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	rexlimdvaa 3173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
31	23, 30	impbid 215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
32	31	eqabdv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)})
33		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
34	33	rnmpt 5950	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)}
35	32, 34	eqtr4di 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
36	3, 10, 11, 13, 14, 35	cycsubggenodd 20183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
37	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem2 20182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
38	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem1 20181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) ≠ (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
39	37, 38	pm2.61dane 3051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
40	39	adantrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
41	36, 40	eqnetrrd 3032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
42	9, 41	rexlimddv 3178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
43	42	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
44	2, 43	pm2.21ddne 3048	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ⊥)
45	44	efald 1588	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ⊥wfal 1579   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  ifcif 4492   ↦ cmpt 5196  ran crn 5665  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Fincfn 8945  0cc0 11102  2c2 12297  ℤcz 12593  ♯chash 14368  Basecbs 17271  0_gc0g 17494  Grpcgrp 19002  ._gcmg 19135  odcod 19596  Abelcabl 19853  SimpGrpcsimpg 20164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-acn 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-rp 13019  df-fz 13538  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16313  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-0g 17496  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-nsg 19192  df-od 19600  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-simpg 20165

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20189