Theorem ablsimpgfind 20026

Description: An abelian simple group is finite. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfind.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfind.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfind.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfind	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ablsimpgfind

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
2	1	iffalsed 4495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = 0)
3		ablsimpgfind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		ablsimpgfind.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6	3, 4, 5	simpgnideld 20015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
7		neqne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
8	7	reximi 3067	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
10		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
11		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
14		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ablsimpgfind.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
17	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
18	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
20	19	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	3, 4, 10, 16, 17, 18, 20, 21	ablsimpg1gend 20021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
25	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝐺 ∈ Grp)
26		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	3, 10, 25, 26, 27	mulgcld 19010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29	24, 28	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	rexlimdvaa 3135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
31	23, 30	impbid 212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
32	31	eqabdv 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)})
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
34	33	rnmpt 5910	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)}
35	32, 34	eqtr4di 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
36	3, 10, 11, 13, 14, 35	cycsubggenodd 20025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
37	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem2 20024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
38	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem1 20023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) ≠ (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
39	37, 38	pm2.61dane 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
40	39	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
41	36, 40	eqnetrrd 2993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
42	9, 41	rexlimddv 3140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
43	42	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
44	2, 43	pm2.21ddne 3009	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ⊥)
45	44	efald 1561	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊥wfal 1552   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ifcif 4484   ↦ cmpt 5183  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  0cc0 11044  2c2 12217  ℤcz 12505  ♯chash 14271  Basecbs 17155  0_gc0g 17378  Grpcgrp 18847  ._gcmg 18981  odcod 19438  Abelcabl 19695  SimpGrpcsimpg 20006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-nsg 19038  df-od 19442  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-simpg 20007

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20031