Theorem ablsimpgfind 20021

Description: An abelian simple group is finite. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfind.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfind.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfind.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfind	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ablsimpgfind

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
2	1	iffalsed 4538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = 0)
3		ablsimpgfind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		ablsimpgfind.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6	3, 4, 5	simpgnideld 20010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
7		neqne 2946	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
8	7	reximi 3082	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
10		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
11		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
14		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ablsimpgfind.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16	15	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
17	5	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
18	14	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))
20	19	neneqd 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝐺))
21		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	3, 4, 10, 16, 17, 18, 20, 21	ablsimpg1gend 20016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
23	22	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24		simprr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
25	12	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝐺 ∈ Grp)
26		simprl 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	14	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	3, 10, 25, 26, 27	mulgcld 19012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29	24, 28	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	rexlimdvaa 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
31	23, 30	impbid 211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
32	31	eqabdv 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)})
33		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
34	33	rnmpt 5953	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = {𝑦 ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)}
35	32, 34	eqtr4di 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
36	3, 10, 11, 13, 14, 35	cycsubggenodd 20020	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
37	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem2 20019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
38	3, 4, 10, 11, 15, 5	ablsimpgfindlem1 20018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2(.g‘𝐺)𝑥) ≠ (0g‘𝐺)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
39	37, 38	pm2.61dane 3027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
40	39	adantrr 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
41	36, 40	eqnetrrd 3007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐺))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
42	9, 41	rexlimddv 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
43	42	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ≠ 0)
44	2, 43	pm2.21ddne 3024	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ⊥)
45	44	efald 1560	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  ⊥wfal 1551   ∈ wcel 2104  {cab 2707   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  2c2 12271  ℤcz 12562  ♯chash 14294  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  Grpcgrp 18855  ._gcmg 18986  odcod 19433  Abelcabl 19690  SimpGrpcsimpg 20001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-od 19437  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-simpg 20002

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20026