Theorem fincygsubgodd 20055

Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
fincygsubgodd.3	⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
fincygsubgodd.4	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
fincygsubgodd.5	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
fincygsubgodd.8	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
fincygsubgodd.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodd.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodd	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodd.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
2		fincygsubgodd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fincygsubgodd.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
5		fincygsubgodd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		fincygsubgodd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		fincygsubgodd.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8		fincygsubgodd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
9	8	rneqi 5894	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
10	7, 9	eqtr3di 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	cycsubggenodd 20052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
12		fincygsubgodd.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13	12	iftrued 4489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = (♯‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15	14	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
16		fincygsubgodd.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
18	2, 4, 3	odmulg 19497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
19	5, 6, 17, 18	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
20	2, 4	odcl 19477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
21		nn0z 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
22	6, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
23		fincygsubgodd.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
24	23, 14	breqtrrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ ((od‘𝐺)‘𝐴))
25	16, 22, 24	dvdsgcdidd 16476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = 𝐶)
26	25	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
27	19, 26	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
28	2, 4, 6	odcld 19493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 12476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℂ)
30	2, 3, 5, 17, 6	mulgcld 19038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
31	2, 4, 30	odcld 19493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	17	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	16	nnne0d 12207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
35	29, 32, 33, 34	divmul2d 11962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ↔ ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))))
36	27, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
37	15, 36	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
38	1, 37	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
39		fincygsubgodd.5	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
40	39	rneqi 5894	. . . 4 ⊢ ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴))))
42	2, 3, 4, 5, 30, 41	cycsubggenodd 20052	. 2 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
43	38, 42	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
44		iffalse 4490	. . . . 5 ⊢ (¬ ran 𝐻 ∈ Fin → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = 0)
45	43, 44	sylan9eq 2792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → 𝐷 = 0)
46	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
47		hashcl 14291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
48		nn0cn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
49	12, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
50	6, 12	hashelne0d 14303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
51	50	neqned 2940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
52	49, 33, 51, 34	divne0d 11945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ≠ 0)
53	46, 52	eqnetrd 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
54	53	neneqd 2938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 = 0)
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐷 = 0)
56	45, 55	condan 818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
57	56	iftrued 4489	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = (♯‘ran 𝐻))
58	38, 42, 57	3eqtrrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ♯chash 14265   ∥ cdvds 16191   gcd cgcd 16433  Basecbs 17148  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009  odcod 19465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-od 19469

This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  20056