MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincygsubgodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincygsubgodd 20147
Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fincygsubgodd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodd.2 · = (.g𝐺)
fincygsubgodd.3 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
fincygsubgodd.4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
fincygsubgodd.5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgodd.6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7 (𝜑𝐴𝐵)
fincygsubgodd.8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
fincygsubgodd.9 (𝜑𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodd.10 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fincygsubgodd (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)
Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd
StepHypRef Expression
1 fincygsubgodd.3 . . 3 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
2 fincygsubgodd.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 fincygsubgodd.2 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
4 eqid 2735 . . . . . . 7 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
5 fincygsubgodd.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
6 fincygsubgodd.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
7 fincygsubgodd.8 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8 fincygsubgodd.4 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
98rneqi 5951 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
107, 9eqtr3di 2790 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
112, 3, 4, 5, 6, 10cycsubggenodd 20144 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
12 fincygsubgodd.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
1312iftrued 4539 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = (♯‘𝐵))
1411, 13eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘𝐵))
1514oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
16 fincygsubgodd.11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1716nnzd 12638 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
182, 4, 3odmulg 19589 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐶 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
195, 6, 17, 18syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
202, 4odcl 19569 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
21 nn0z 12636 . . . . . . . . 9 (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
23 fincygsubgodd.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
2423, 14breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∥ ((od‘𝐺)‘𝐴))
2516, 22, 24dvdsgcdidd 16571 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = 𝐶)
2625oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
2719, 26eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
282, 4, 6odcld 19585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℂ)
302, 3, 5, 17, 6mulgcld 19127 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
312, 4, 30odcld 19585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3317zcnd 12721 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3416nnne0d 12314 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
3529, 32, 33, 34divmul2d 12074 . . . . 5 (𝜑 → ((((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ↔ ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))))
3627, 35mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
3715, 36eqtr3d 2777 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
381, 37eqtrid 2787 . 2 (𝜑𝐷 = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
39 fincygsubgodd.5 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
4039rneqi 5951 . . . 4 ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
4140a1i 11 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴))))
422, 3, 4, 5, 30, 41cycsubggenodd 20144 . 2 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
4338, 42eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
44 iffalse 4540 . . . . 5 (¬ ran 𝐻 ∈ Fin → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = 0)
4543, 44sylan9eq 2795 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → 𝐷 = 0)
461a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
47 hashcl 14392 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
48 nn0cn 12534 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
4912, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
506, 12hashelne0d 14404 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
5150neqned 2945 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
5249, 33, 51, 34divne0d 12057 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ≠ 0)
5346, 52eqnetrd 3006 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ≠ 0)
5453neneqd 2943 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷 = 0)
5554adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐷 = 0)
5645, 55condan 818 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
5756iftrued 4539 . 2 (𝜑 → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = (♯‘ran 𝐻))
5838, 42, 573eqtrrd 2780 1 (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  chash 14366  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  odcod 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-od 19561
This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  20148
  Copyright terms: Public domain W3C validator