MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincygsubgodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincygsubgodd 19984
Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fincygsubgodd.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
fincygsubgodd.2 Β· = (.gβ€˜πΊ)
fincygsubgodd.3 𝐷 = ((β™―β€˜π΅) / 𝐢)
fincygsubgodd.4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐴))
fincygsubgodd.5 𝐻 = (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (𝐢 Β· 𝐴)))
fincygsubgodd.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
fincygsubgodd.8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
fincygsubgodd.9 (πœ‘ β†’ 𝐢 βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
fincygsubgodd.10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
fincygsubgodd (πœ‘ β†’ (β™―β€˜ran 𝐻) = 𝐷)
Distinct variable groups:   Β· ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐢,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd
StepHypRef Expression
1 fincygsubgodd.3 . . 3 𝐷 = ((β™―β€˜π΅) / 𝐢)
2 fincygsubgodd.1 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 fincygsubgodd.2 . . . . . . 7 Β· = (.gβ€˜πΊ)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (odβ€˜πΊ) = (odβ€˜πΊ)
5 fincygsubgodd.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
6 fincygsubgodd.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
7 fincygsubgodd.8 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
8 fincygsubgodd.4 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐴))
98rneqi 5936 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐴))
107, 9eqtr3di 2787 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐴)))
112, 3, 4, 5, 6, 10cycsubggenodd 19981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) = if(𝐡 ∈ Fin, (β™―β€˜π΅), 0))
12 fincygsubgodd.10 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
1312iftrued 4536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ∈ Fin, (β™―β€˜π΅), 0) = (β™―β€˜π΅))
1411, 13eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜π΅))
1514oveq1d 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) / 𝐢) = ((β™―β€˜π΅) / 𝐢))
16 fincygsubgodd.11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„•)
1716nnzd 12587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„€)
182, 4, 3odmulg 19426 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ β„€) β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) = ((𝐢 gcd ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄)) Β· ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴))))
195, 6, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) = ((𝐢 gcd ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄)) Β· ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴))))
202, 4odcl 19406 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) ∈ β„•0)
21 nn0z 12585 . . . . . . . . 9 (((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) ∈ β„€)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) ∈ β„€)
23 fincygsubgodd.9 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
2423, 14breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 βˆ₯ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄))
2516, 22, 24dvdsgcdidd 16481 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 gcd ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄)) = 𝐢)
2625oveq1d 7426 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐢 gcd ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄)) Β· ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴))) = (𝐢 Β· ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴))))
2719, 26eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (𝐢 Β· ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴))))
282, 4, 6odcld 19422 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) ∈ β„•0)
2928nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) ∈ β„‚)
302, 3, 5, 17, 6mulgcld 18978 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
312, 4, 30odcld 19422 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴)) ∈ β„•0)
3231nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3317zcnd 12669 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3416nnne0d 12264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  0)
3529, 32, 33, 34divmul2d 12025 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) / 𝐢) = ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴)) ↔ ((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (𝐢 Β· ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴)))))
3627, 35mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((odβ€˜πΊ)β€˜π΄) / 𝐢) = ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴)))
3715, 36eqtr3d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) / 𝐢) = ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴)))
381, 37eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴)))
39 fincygsubgodd.5 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (𝐢 Β· 𝐴)))
4039rneqi 5936 . . . 4 ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (𝐢 Β· 𝐴)))
4140a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (𝐢 Β· 𝐴))))
422, 3, 4, 5, 30, 41cycsubggenodd 19981 . 2 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜πΊ)β€˜(𝐢 Β· 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (β™―β€˜ran 𝐻), 0))
4338, 42eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (β™―β€˜ran 𝐻), 0))
44 iffalse 4537 . . . . 5 (Β¬ ran 𝐻 ∈ Fin β†’ if(ran 𝐻 ∈ Fin, (β™―β€˜ran 𝐻), 0) = 0)
4543, 44sylan9eq 2792 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ ran 𝐻 ∈ Fin) β†’ 𝐷 = 0)
461a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((β™―β€˜π΅) / 𝐢))
47 hashcl 14318 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
48 nn0cn 12484 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΅) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„‚)
4912, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„‚)
506, 12hashelne0d 14330 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ (β™―β€˜π΅) = 0)
5150neqned 2947 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) β‰  0)
5249, 33, 51, 34divne0d 12008 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) / 𝐢) β‰  0)
5346, 52eqnetrd 3008 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  0)
5453neneqd 2945 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐷 = 0)
5554adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ ran 𝐻 ∈ Fin) β†’ Β¬ 𝐷 = 0)
5645, 55condan 816 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 ∈ Fin)
5756iftrued 4536 . 2 (πœ‘ β†’ if(ran 𝐻 ∈ Fin, (β™―β€˜ran 𝐻), 0) = (β™―β€˜ran 𝐻))
5838, 42, 573eqtrrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜ran 𝐻) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β™―chash 14292   βˆ₯ cdvds 16199   gcd cgcd 16437  Basecbs 17146  Grpcgrp 18821  .gcmg 18952  odcod 19394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-od 19398
This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  19985
  Copyright terms: Public domain W3C validator