Theorem fincygsubgodd 20308

Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
fincygsubgodd.3	⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
fincygsubgodd.4	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
fincygsubgodd.5	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
fincygsubgodd.8	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
fincygsubgodd.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodd.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodd	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodd.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
2		fincygsubgodd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fincygsubgodd.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
5		fincygsubgodd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		fincygsubgodd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		fincygsubgodd.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8		fincygsubgodd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
9	8	rneqi 5919	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
10	7, 9	eqtr3di 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	cycsubggenodd 20305	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
12		fincygsubgodd.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13	12	iftrued 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = (♯‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15	14	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
16		fincygsubgodd.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
18	2, 4, 3	odmulg 19750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
19	5, 6, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
20	2, 4	odcl 19730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
21		nn0z 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
22	6, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
23		fincygsubgodd.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
24	23, 14	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ ((od‘𝐺)‘𝐴))
25	16, 22, 24	dvdsgcdidd 16690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = 𝐶)
26	25	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
27	19, 26	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
28	2, 4, 6	odcld 19746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℂ)
30	2, 3, 5, 17, 6	mulgcld 19286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
31	2, 4, 30	odcld 19746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	17	zcnd 12785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	16	nnne0d 12369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
35	29, 32, 33, 34	divmul2d 12107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ↔ ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))))
36	27, 35	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
37	15, 36	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
38	1, 37	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
39		fincygsubgodd.5	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
40	39	rneqi 5919	. . . 4 ⊢ ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴))))
42	2, 3, 4, 5, 30, 41	cycsubggenodd 20305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
43	38, 42	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
44		iffalse 4491	. . . . 5 ⊢ (¬ ran 𝐻 ∈ Fin → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = 0)
45	43, 44	sylan9eq 2816	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → 𝐷 = 0)
46	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
47		hashcl 14480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
48		nn0cn 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
49	12, 47, 48	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
50	6, 12	hashelne0d 14492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
51	50	neqned 2963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
52	49, 33, 51, 34	divne0d 12090	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ≠ 0)
53	46, 52	eqnetrd 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
54	53	neneqd 2961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 = 0)
55	54	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐷 = 0)
56	45, 55	condan 830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
57	56	iftrued 4490	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = (♯‘ran 𝐻))
58	38, 42, 57	3eqtrrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  ℂcc 11179  0cc0 11181   · cmul 11186   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ♯chash 14454   ∥ cdvds 16402   gcd cgcd 16644  Basecbs 17367  Grpcgrp 19124  ._gcmg 19257  odcod 19718

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-od 19722

This theorem is used by:  fincygsubgodexd  20309