Theorem fincygsubgodd 20156

Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
fincygsubgodd.3	⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
fincygsubgodd.4	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
fincygsubgodd.5	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
fincygsubgodd.8	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
fincygsubgodd.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodd.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodd	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodd.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
2		fincygsubgodd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fincygsubgodd.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
5		fincygsubgodd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		fincygsubgodd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		fincygsubgodd.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8		fincygsubgodd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
9	8	rneqi 5962	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
10	7, 9	eqtr3di 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	cycsubggenodd 20153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
12		fincygsubgodd.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13	12	iftrued 4556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = (♯‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15	14	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
16		fincygsubgodd.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
18	2, 4, 3	odmulg 19598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
19	5, 6, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
20	2, 4	odcl 19578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
21		nn0z 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
22	6, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
23		fincygsubgodd.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
24	23, 14	breqtrrd 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ ((od‘𝐺)‘𝐴))
25	16, 22, 24	dvdsgcdidd 16584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = 𝐶)
26	25	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
27	19, 26	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
28	2, 4, 6	odcld 19594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℂ)
30	2, 3, 5, 17, 6	mulgcld 19136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
31	2, 4, 30	odcld 19594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	17	zcnd 12748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	16	nnne0d 12343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
35	29, 32, 33, 34	divmul2d 12103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ↔ ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))))
36	27, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
37	15, 36	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
38	1, 37	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
39		fincygsubgodd.5	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
40	39	rneqi 5962	. . . 4 ⊢ ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴))))
42	2, 3, 4, 5, 30, 41	cycsubggenodd 20153	. 2 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
43	38, 42	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
44		iffalse 4557	. . . . 5 ⊢ (¬ ran 𝐻 ∈ Fin → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = 0)
45	43, 44	sylan9eq 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → 𝐷 = 0)
46	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
47		hashcl 14405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
48		nn0cn 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
49	12, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
50	6, 12	hashelne0d 14417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
51	50	neqned 2953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
52	49, 33, 51, 34	divne0d 12086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ≠ 0)
53	46, 52	eqnetrd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
54	53	neneqd 2951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 = 0)
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐷 = 0)
56	45, 55	condan 817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
57	56	iftrued 4556	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = (♯‘ran 𝐻))
58	38, 42, 57	3eqtrrd 2785	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ♯chash 14379   ∥ cdvds 16302   gcd cgcd 16540  Basecbs 17258  Grpcgrp 18973  ._gcmg 19107  odcod 19566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-od 19570

This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  20157