MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincygsubgodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincygsubgodd 20132
Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fincygsubgodd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodd.2 · = (.g𝐺)
fincygsubgodd.3 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
fincygsubgodd.4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
fincygsubgodd.5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgodd.6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7 (𝜑𝐴𝐵)
fincygsubgodd.8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
fincygsubgodd.9 (𝜑𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodd.10 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fincygsubgodd (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)
Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd
StepHypRef Expression
1 fincygsubgodd.3 . . 3 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
2 fincygsubgodd.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 fincygsubgodd.2 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
5 fincygsubgodd.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
6 fincygsubgodd.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
7 fincygsubgodd.8 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8 fincygsubgodd.4 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
98rneqi 5948 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
107, 9eqtr3di 2792 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
112, 3, 4, 5, 6, 10cycsubggenodd 20129 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
12 fincygsubgodd.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
1312iftrued 4533 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = (♯‘𝐵))
1411, 13eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘𝐵))
1514oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
16 fincygsubgodd.11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1716nnzd 12640 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
182, 4, 3odmulg 19574 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐶 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
195, 6, 17, 18syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
202, 4odcl 19554 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
21 nn0z 12638 . . . . . . . . 9 (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
23 fincygsubgodd.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
2423, 14breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∥ ((od‘𝐺)‘𝐴))
2516, 22, 24dvdsgcdidd 16574 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = 𝐶)
2625oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
2719, 26eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
282, 4, 6odcld 19570 . . . . . . 7 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 12589 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℂ)
302, 3, 5, 17, 6mulgcld 19114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
312, 4, 30odcld 19570 . . . . . . 7 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12589 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3317zcnd 12723 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3416nnne0d 12316 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
3529, 32, 33, 34divmul2d 12076 . . . . 5 (𝜑 → ((((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ↔ ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))))
3627, 35mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
3715, 36eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
381, 37eqtrid 2789 . 2 (𝜑𝐷 = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
39 fincygsubgodd.5 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
4039rneqi 5948 . . . 4 ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
4140a1i 11 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴))))
422, 3, 4, 5, 30, 41cycsubggenodd 20129 . 2 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
4338, 42eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
44 iffalse 4534 . . . . 5 (¬ ran 𝐻 ∈ Fin → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = 0)
4543, 44sylan9eq 2797 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → 𝐷 = 0)
461a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
47 hashcl 14395 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
48 nn0cn 12536 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
4912, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
506, 12hashelne0d 14407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
5150neqned 2947 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
5249, 33, 51, 34divne0d 12059 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ≠ 0)
5346, 52eqnetrd 3008 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ≠ 0)
5453neneqd 2945 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷 = 0)
5554adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐷 = 0)
5645, 55condan 818 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
5756iftrued 4533 . 2 (𝜑 → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = (♯‘ran 𝐻))
5838, 42, 573eqtrrd 2782 1 (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  chash 14369  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  Basecbs 17247  Grpcgrp 18951  .gcmg 19085  odcod 19542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-od 19546
This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  20133
  Copyright terms: Public domain W3C validator