Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincygsubgodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincygsubgodd 19307
 Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fincygsubgodd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodd.2 · = (.g𝐺)
fincygsubgodd.3 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
fincygsubgodd.4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
fincygsubgodd.5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgodd.6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7 (𝜑𝐴𝐵)
fincygsubgodd.8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
fincygsubgodd.9 (𝜑𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodd.10 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fincygsubgodd (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)
Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd
StepHypRef Expression
1 fincygsubgodd.3 . . 3 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
2 fincygsubgodd.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 fincygsubgodd.2 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
4 eqid 2758 . . . . . . 7 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
5 fincygsubgodd.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
6 fincygsubgodd.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
7 fincygsubgodd.4 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
87rneqi 5782 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
9 fincygsubgodd.8 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
108, 9syl5reqr 2808 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
112, 3, 4, 5, 6, 10cycsubggenodd 19304 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
12 fincygsubgodd.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
1312iftrued 4431 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = (♯‘𝐵))
1411, 13eqtrd 2793 . . . . 5 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘𝐵))
1514oveq1d 7170 . . . 4 (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
16 fincygsubgodd.11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1716nnzd 12130 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
182, 4, 3odmulg 18755 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵𝐶 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
195, 6, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
202, 4odcl 18736 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
21 nn0z 12049 . . . . . . . . 9 (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
23 fincygsubgodd.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
2423, 14breqtrrd 5063 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∥ ((od‘𝐺)‘𝐴))
2516, 22, 24dvdsgcdidd 15941 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = 𝐶)
2625oveq1d 7170 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
2719, 26eqtrd 2793 . . . . 5 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
282, 4, 6odcld 18752 . . . . . . 7 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 12001 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℂ)
302, 3, 5, 17, 6mulgcld 18321 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
312, 4, 30odcld 18752 . . . . . . 7 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12001 . . . . . 6 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3317zcnd 12132 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3416nnne0d 11729 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
3529, 32, 33, 34divmul2d 11492 . . . . 5 (𝜑 → ((((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ↔ ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))))
3627, 35mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
3715, 36eqtr3d 2795 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
381, 37syl5eq 2805 . 2 (𝜑𝐷 = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
39 fincygsubgodd.5 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
4039rneqi 5782 . . . 4 ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
4140a1i 11 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴))))
422, 3, 4, 5, 30, 41cycsubggenodd 19304 . 2 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
4338, 42eqtrd 2793 . . . . 5 (𝜑𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
44 iffalse 4432 . . . . 5 (¬ ran 𝐻 ∈ Fin → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = 0)
4543, 44sylan9eq 2813 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → 𝐷 = 0)
461a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
47 hashcl 13772 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
48 nn0cn 11949 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
4912, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
506, 12hashelne0d 13784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
5150neqned 2958 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
5249, 33, 51, 34divne0d 11475 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ≠ 0)
5346, 52eqnetrd 3018 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ≠ 0)
5453neneqd 2956 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷 = 0)
5554adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐷 = 0)
5645, 55condan 817 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
5756iftrued 4431 . 2 (𝜑 → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = (♯‘ran 𝐻))
5838, 42, 573eqtrrd 2798 1 (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4423   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115  ran crn 5528  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Fincfn 8532  ℂcc 10578  0cc0 10580   · cmul 10585   / cdiv 11340  ℕcn 11679  ℕ0cn0 11939  ℤcz 12025  ♯chash 13745   ∥ cdvds 15660   gcd cgcd 15898  Basecbs 16546  Grpcgrp 18174  .gcmg 18296  odcod 18724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-acn 9409  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-dvds 15661  df-gcd 15899  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-od 18728 This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  19308
 Copyright terms: Public domain W3C validator