Theorem fincygsubgodd 20095

Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
fincygsubgodd.3	⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
fincygsubgodd.4	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
fincygsubgodd.5	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
fincygsubgodd.8	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
fincygsubgodd.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodd.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodd	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodd.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
2		fincygsubgodd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fincygsubgodd.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
5		fincygsubgodd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		fincygsubgodd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		fincygsubgodd.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8		fincygsubgodd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
9	8	rneqi 5917	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
10	7, 9	eqtr3di 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	cycsubggenodd 20092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
12		fincygsubgodd.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13	12	iftrued 4508	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = (♯‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15	14	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
16		fincygsubgodd.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
18	2, 4, 3	odmulg 19537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
19	5, 6, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
20	2, 4	odcl 19517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
21		nn0z 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
22	6, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
23		fincygsubgodd.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
24	23, 14	breqtrrd 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ ((od‘𝐺)‘𝐴))
25	16, 22, 24	dvdsgcdidd 16556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = 𝐶)
26	25	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
27	19, 26	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
28	2, 4, 6	odcld 19533	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℂ)
30	2, 3, 5, 17, 6	mulgcld 19079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
31	2, 4, 30	odcld 19533	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	17	zcnd 12698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	16	nnne0d 12290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
35	29, 32, 33, 34	divmul2d 12050	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ↔ ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))))
36	27, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
37	15, 36	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
38	1, 37	eqtrid 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
39		fincygsubgodd.5	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
40	39	rneqi 5917	. . . 4 ⊢ ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴))))
42	2, 3, 4, 5, 30, 41	cycsubggenodd 20092	. 2 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
43	38, 42	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
44		iffalse 4509	. . . . 5 ⊢ (¬ ran 𝐻 ∈ Fin → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = 0)
45	43, 44	sylan9eq 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → 𝐷 = 0)
46	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
47		hashcl 14374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
48		nn0cn 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
49	12, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
50	6, 12	hashelne0d 14386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
51	50	neqned 2939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
52	49, 33, 51, 34	divne0d 12033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ≠ 0)
53	46, 52	eqnetrd 2999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
54	53	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 = 0)
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐷 = 0)
56	45, 55	condan 817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
57	56	iftrued 4508	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = (♯‘ran 𝐻))
58	38, 42, 57	3eqtrrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℂcc 11127  0cc0 11129   · cmul 11134   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ♯chash 14348   ∥ cdvds 16272   gcd cgcd 16513  Basecbs 17228  Grpcgrp 18916  ._gcmg 19050  odcod 19505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-od 19509

This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  20096