Theorem fincygsubgodd 20080

Description: Calculate the order of a subgroup of a finite cyclic group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
fincygsubgodd.3	⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
fincygsubgodd.4	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
fincygsubgodd.5	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
fincygsubgodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
fincygsubgodd.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
fincygsubgodd.8	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
fincygsubgodd.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodd.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodd.11	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodd	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem fincygsubgodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodd.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶)
2		fincygsubgodd.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		fincygsubgodd.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
5		fincygsubgodd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		fincygsubgodd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		fincygsubgodd.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8		fincygsubgodd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
9	8	rneqi 5886	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐹 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
10	7, 9	eqtr3di 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	cycsubggenodd 20077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
12		fincygsubgodd.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13	12	iftrued 4475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = (♯‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘𝐵))
15	14	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
16		fincygsubgodd.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12541	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
18	2, 4, 3	odmulg 19522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
19	5, 6, 17, 18	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
20	2, 4	odcl 19502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
21		nn0z 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
22	6, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
23		fincygsubgodd.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
24	23, 14	breqtrrd 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ ((od‘𝐺)‘𝐴))
25	16, 22, 24	dvdsgcdidd 16497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = 𝐶)
26	25	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
27	19, 26	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴))))
28	2, 4, 6	odcld 19518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 12491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℂ)
30	2, 3, 5, 17, 6	mulgcld 19063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ 𝐵)
31	2, 4, 30	odcld 19518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	17	zcnd 12625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	16	nnne0d 12218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
35	29, 32, 33, 34	divmul2d 11955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) ↔ ((od‘𝐺)‘𝐴) = (𝐶 · ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))))
36	27, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝐺)‘𝐴) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
37	15, 36	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
38	1, 37	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)))
39		fincygsubgodd.5	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
40	39	rneqi 5886	. . . 4 ⊢ ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴)))
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝐶 · 𝐴))))
42	2, 3, 4, 5, 30, 41	cycsubggenodd 20077	. 2 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘(𝐶 · 𝐴)) = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
43	38, 42	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0))
44		iffalse 4476	. . . . 5 ⊢ (¬ ran 𝐻 ∈ Fin → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = 0)
45	43, 44	sylan9eq 2792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → 𝐷 = 0)
46	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((♯‘𝐵) / 𝐶))
47		hashcl 14309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
48		nn0cn 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
49	12, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
50	6, 12	hashelne0d 14321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
51	50	neqned 2940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
52	49, 33, 51, 34	divne0d 11938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ≠ 0)
53	46, 52	eqnetrd 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
54	53	neneqd 2938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 = 0)
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐷 = 0)
56	45, 55	condan 818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
57	56	iftrued 4475	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran 𝐻 ∈ Fin, (♯‘ran 𝐻), 0) = (♯‘ran 𝐻))
58	38, 42, 57	3eqtrrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐻) = 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ♯chash 14283   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454  Basecbs 17170  Grpcgrp 18900  ._gcmg 19034  odcod 19490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-od 19494

This theorem is referenced by:  fincygsubgodexd  20081