Theorem 1fldgenq 33383

Description: The field of rational numbers ℚ is generated by 1 in ℂ_fld, that is, ℚ is the prime field of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1fldgenq	⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

Proof of Theorem 1fldgenq

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21356	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cndrng 21381	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
4		qsscn 12910	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ ℂ)
6		1z 12557	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		snssi 4729	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ⊆ ℤ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ⊆ ℤ
9		zssq 12906	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
10	8, 9	sstri 3931	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ ℚ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℚ)
12	1, 3, 5, 11	fldgenss 33377	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ (ℂfld fldGen ℚ))
13		qsubdrg 21399	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	13	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
16		issdrg 20765	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
17	2, 14, 15, 16	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
19	1, 3, 18	fldgenidfld 33378	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen ℚ) = ℚ)
20	12, 19	sseqtrd 3958	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ ℚ)
21		elq 12900	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞))
22		cnflddiv 21382	. . . . . . . . 9 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
23		cnfld0 21376	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24	11, 4	sstrdi 3934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
25	1, 3, 24	fldgensdrg 33375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
26	25	mptru 1549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
28		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		cnfldmulg 21384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
30	28, 29	mpan2 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
31		zre 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
32		ax-1rid 11108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℝ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
34	30, 33	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = 𝑝)
35		issdrg 20765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing))
36	26, 35	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing)
37	36	simp2i 1141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld)
38		subrgsubg 20554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld)
40	1, 3, 24	fldgenssid 33374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
41		1ex 11140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
42	41	snss 4728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
43	40, 42	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
44	43	mptru 1549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})
45		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
46	45	subgmulgcl 19115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
47	39, 44, 46	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
48	34, 47	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
50	48	ssriv 3925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
51		nnz 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
53	50, 52	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
54		nnne0 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ≠ 0)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
56	22, 23, 27, 49, 53, 55	sdrgdvcl 33360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
57		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1})))
58	56, 57	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1})))
59	58	rexlimivv 3179	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
60	21, 59	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
61	60	ssriv 3925	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
63	20, 62	eqssd 3939	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) = ℚ)
64	63	mptru 1549	1 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ℚcq 12898   ↾_s cress 17200  ._gcmg 19043  SubGrpcsubg 19096  SubRingcsubrg 20546  DivRingcdr 20706  SubDRingcsdrg 20763  ℂ_fldccnfld 21352   fldGen cfldgen 33371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-fz 13462  df-seq 13964  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-sdrg 20764  df-cnfld 21353  df-fldgen 33372

This theorem is referenced by: (None)