Theorem 1fldgenq 33398

Description: The field of rational numbers ℚ is generated by 1 in ℂ_fld, that is, ℚ is the prime field of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1fldgenq	⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

Proof of Theorem 1fldgenq

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21348	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cndrng 21388	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
4		qsscn 12901	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ ℂ)
6		1z 12548	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		snssi 4752	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ⊆ ℤ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ⊆ ℤ
9		zssq 12897	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
10	8, 9	sstri 3932	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ ℚ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℚ)
12	1, 3, 5, 11	fldgenss 33392	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ (ℂfld fldGen ℚ))
13		qsubdrg 21409	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	13	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
16		issdrg 20756	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
17	2, 14, 15, 16	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
19	1, 3, 18	fldgenidfld 33393	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen ℚ) = ℚ)
20	12, 19	sseqtrd 3959	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ ℚ)
21		elq 12891	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞))
22		cnflddiv 21390	. . . . . . . . 9 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
23		cnfld0 21382	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24	11, 4	sstrdi 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
25	1, 3, 24	fldgensdrg 33390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
26	25	mptru 1549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
28		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		cnfldmulg 21393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
30	28, 29	mpan2 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
31		zre 12519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
32		ax-1rid 11099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℝ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
34	30, 33	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = 𝑝)
35		issdrg 20756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing))
36	26, 35	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing)
37	36	simp2i 1141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld)
38		subrgsubg 20545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld)
40	1, 3, 24	fldgenssid 33389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
41		1ex 11131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
42	41	snss 4729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
43	40, 42	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
44	43	mptru 1549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})
45		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
46	45	subgmulgcl 19106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
47	39, 44, 46	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
48	34, 47	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
50	48	ssriv 3926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
51		nnz 12536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
53	50, 52	sselid 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
54		nnne0 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ≠ 0)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
56	22, 23, 27, 49, 53, 55	sdrgdvcl 33375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
57		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1})))
58	56, 57	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1})))
59	58	rexlimivv 3180	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
60	21, 59	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
61	60	ssriv 3926	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
63	20, 62	eqssd 3940	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) = ℚ)
64	63	mptru 1549	1 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℚcq 12889   ↾_s cress 17191  ._gcmg 19034  SubGrpcsubg 19087  SubRingcsubrg 20537  DivRingcdr 20697  SubDRingcsdrg 20754  ℂ_fldccnfld 21344   fldGen cfldgen 33386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-fz 13453  df-seq 13955  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-drng 20699  df-sdrg 20755  df-cnfld 21345  df-fldgen 33387

This theorem is referenced by: (None)