Theorem 1fldgenq 33666

Description: The field of rational numbers ℚ is generated by 1 in ℂ_fld, that is, ℚ is the prime field of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1fldgenq	⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

Proof of Theorem 1fldgenq

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21555	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cndrng 21580	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
4		qsscn 12995	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ ℂ)
6		1z 12635	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		snssi 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ⊆ ℤ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ⊆ ℤ
9		zssq 12991	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
10	8, 9	sstri 3947	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ ℚ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℚ)
12	1, 3, 5, 11	fldgenss 33660	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ (ℂfld fldGen ℚ))
13		qsubdrg 21598	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	13	simpri 491	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
16		issdrg 20920	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
17	2, 14, 15, 16	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
19	1, 3, 18	fldgenidfld 33661	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen ℚ) = ℚ)
20	12, 19	sseqtrd 3974	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ ℚ)
21		elq 12985	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞))
22		cnflddiv 21581	. . . . . . . . 9 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
23		cnfld0 21575	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24	11, 4	sstrdi 3950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
25	1, 3, 24	fldgensdrg 33658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
26	25	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
28		ax-1cn 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		cnfldmulg 21583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
30	28, 29	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
31		zre 12606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
32		ax-1rid 11181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℝ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
34	30, 33	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = 𝑝)
35		issdrg 20920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing))
36	26, 35	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing)
37	36	simp2i 1158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld)
38		subrgsubg 20705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld)
40	1, 3, 24	fldgenssid 33657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
41		1ex 11214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
42	41	snss 4752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
43	40, 42	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
44	43	mptru 1577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})
45		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
46	45	subgmulgcl 19229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
47	39, 44, 46	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
48	34, 47	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
49	48	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
50	48	ssriv 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
51		nnz 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
52	51	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
53	50, 52	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
54		nnne0 12281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ≠ 0)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
56	22, 23, 27, 49, 53, 55	sdrgdvcl 33643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
57		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1})))
58	56, 57	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1})))
59	58	rexlimivv 3209	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
60	21, 59	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
61	60	ssriv 3942	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
63	20, 62	eqssd 3955	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) = ℚ)
64	63	mptru 1577	1 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   / cdiv 11882  ℕcn 12244  ℤcz 12602  ℚcq 12983   ↾_s cress 17307  ._gcmg 19156  SubGrpcsubg 19209  SubRingcsubrg 20697  DivRingcdr 20856  SubDRingcsdrg 20918  ℂ_fldccnfld 21551   fldGen cfldgen 33654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-fz 13547  df-seq 14051  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-drng 20858  df-sdrg 20919  df-cnfld 21552  df-fldgen 33655

This theorem is used by: (None)