Theorem 1fldgenq 33981

Description: The field of rational numbers ℚ is generated by 1 in ℂ_fld, that is, ℚ is the prime field of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1fldgenq	⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

Proof of Theorem 1fldgenq

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21724	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cndrng 21749	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
4		qsscn 13125	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ ℂ)
6		1z 12764	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		snssi 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ⊆ ℤ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ⊆ ℤ
9		zssq 13121	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
10	8, 9	sstri 3922	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ ℚ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℚ)
12	1, 3, 5, 11	fldgenss 33975	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ (ℂfld fldGen ℚ))
13		qsubdrg 21769	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	13	simpri 491	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
16		issdrg 21087	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
17	2, 14, 15, 16	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
19	1, 3, 18	fldgenidfld 33976	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen ℚ) = ℚ)
20	12, 19	sseqtrd 3949	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ ℚ)
21		elq 13115	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞))
22		cnflddiv 21750	. . . . . . . . 9 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
23		cnfld0 21744	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24	11, 4	sstrdi 3925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
25	1, 3, 24	fldgensdrg 33973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
26	25	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
28		ax-1cn 11295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		cnfldmulg 21752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
30	28, 29	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
31		zre 12735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
32		ax-1rid 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℝ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
34	30, 33	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = 𝑝)
35		issdrg 21087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing))
36	26, 35	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing)
37	36	simp2i 1158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld)
38		subrgsubg 20871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld)
40	1, 3, 24	fldgenssid 33972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
41		1ex 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
42	41	snss 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
43	40, 42	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
44	43	mptru 1577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})
45		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
46	45	subgmulgcl 19391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
47	39, 44, 46	mp3an13 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
48	34, 47	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
49	48	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
50	48	ssriv 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
51		nnz 12752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
52	51	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
53	50, 52	sselid 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
54		nnne0 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ≠ 0)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
56	22, 23, 27, 49, 53, 55	sdrgdvcl 33958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
57		eleq1 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1})))
58	56, 57	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1})))
59	58	rexlimivv 3208	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
60	21, 59	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
61	60	ssriv 3917	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
63	20, 62	eqssd 3930	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) = ℚ)
64	63	mptru 1577	1 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   · cmul 11242   / cdiv 12011  ℕcn 12373  ℤcz 12731  ℚcq 13113   ↾_s cress 17449  ._gcmg 19318  SubGrpcsubg 19371  SubRingcsubrg 20863  DivRingcdr 21022  SubDRingcsdrg 21085  ℂ_fldccnfld 21720   fldGen cfldgen 33969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-tpos 8279  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-fz 13678  df-seq 14183  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-oppr 20609  df-dvdsr 20629  df-unit 20630  df-invr 20660  df-dvr 20673  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-drng 21024  df-sdrg 21086  df-cnfld 21721  df-fldgen 33970

This theorem is used by: (None)