Theorem 1fldgenq 33303

Description: The field of rational numbers ℚ is generated by 1 in ℂ_fld, that is, ℚ is the prime field of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1fldgenq	⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

Proof of Theorem 1fldgenq

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21385	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cndrng 21428	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
4		qsscn 12999	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ ℂ)
6		1z 12644	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		snssi 4812	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ⊆ ℤ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1} ⊆ ℤ
9		zssq 12995	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
10	8, 9	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ ℚ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℚ)
12	1, 3, 5, 11	fldgenss 33297	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ (ℂfld fldGen ℚ))
13		qsubdrg 21454	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
14	13	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
15	13	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
16		issdrg 20805	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing))
17	2, 14, 15, 16	mpbir3an 1340	. . . . . 6 ⊢ ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld)
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ (SubDRing‘ℂfld))
19	1, 3, 18	fldgenidfld 33298	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen ℚ) = ℚ)
20	12, 19	sseqtrd 4035	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ⊆ ℚ)
21		elq 12989	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞))
22		cnflddiv 21430	. . . . . . . . 9 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
23		cnfld0 21422	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
24	11, 4	sstrdi 4007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
25	1, 3, 24	fldgensdrg 33295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
26	25	mptru 1543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld))
28		ax-1cn 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		cnfldmulg 21433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
30	28, 29	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = (𝑝 · 1))
31		zre 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
32		ax-1rid 11222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℝ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝 · 1) = 𝑝)
34	30, 33	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) = 𝑝)
35		issdrg 20805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing))
36	26, 35	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing ∧ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen {1})) ∈ DivRing)
37	36	simp2i 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld)
38		subrgsubg 20593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld)
40	1, 3, 24	fldgenssid 33294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
41		1ex 11254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
42	41	snss 4789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ {1} ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
43	40, 42	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
44	43	mptru 1543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})
45		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
46	45	subgmulgcl 19169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂfld fldGen {1}) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (ℂfld fldGen {1})) → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
47	39, 44, 46	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝(.g‘ℂfld)1) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
48	34, 47	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
50	48	ssriv 3998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
51		nnz 12631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
53	50, 52	sselid 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
54		nnne0 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ≠ 0)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
56	22, 23, 27, 49, 53, 55	sdrgdvcl 33280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1}))
57		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}) ↔ (𝑝 / 𝑞) ∈ (ℂfld fldGen {1})))
58	56, 57	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1})))
59	58	rexlimivv 3198	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑝 / 𝑞) → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
60	21, 59	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ → 𝑧 ∈ (ℂfld fldGen {1}))
61	60	ssriv 3998	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1})
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ (ℂfld fldGen {1}))
63	20, 62	eqssd 4012	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂfld fldGen {1}) = ℚ)
64	63	mptru 1543	1 ⊢ (ℂfld fldGen {1}) = ℚ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536  ⊤wtru 1537   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962  {csn 4630  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   / cdiv 11917  ℕcn 12263  ℤcz 12610  ℚcq 12987   ↾_s cress 17273  ._gcmg 19097  SubGrpcsubg 19150  SubRingcsubrg 20585  DivRingcdr 20745  SubDRingcsdrg 20803  ℂ_fldccnfld 21381   fldGen cfldgen 33291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-fz 13544  df-seq 14039  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-sdrg 20804  df-cnfld 21382  df-fldgen 33292

This theorem is referenced by: (None)