Theorem flmulnn0 13830

Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
flmulnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem flmulnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reflcl 13799	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12536	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4	nn0ge0d 12538	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑁)
7		flle 13802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
8	7	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
9	2, 3, 5, 6, 8	lemul2ad 12125	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴))
10	5, 3	remulcld 11205	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
11		nn0z 12585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
12		flcl 13798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
13		zmulcl 12613	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	syl2an 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
15		flge 13808	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
16	10, 14, 15	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
17	9, 16	mpbid 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11065   · cmul 11071   ≤ cle 11210  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ⌊cfl 13793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fl 13795

This theorem is referenced by:  modmulnn  13892