Theorem flmulnn0 13288

Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
flmulnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem flmulnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reflcl 13257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12037	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4	nn0ge0d 12039	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑁)
7		flle 13260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
8	7	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
9	2, 3, 5, 6, 8	lemul2ad 11658	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴))
10	5, 3	remulcld 10749	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
11		nn0z 12086	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
12		flcl 13256	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
13		zmulcl 12112	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
15		flge 13266	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
16	10, 14, 15	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
17	9, 16	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℝcr 10614   · cmul 10620   ≤ cle 10754  ℕ₀cn0 11976  ℤcz 12062  ⌊cfl 13251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fl 13253

This theorem is referenced by:  modmulnn  13348