Theorem flge 13808

Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
flge	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))

Proof of Theorem flge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	zred 12670	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	flcld 13801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12673	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12670	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
9		lelttr 11266	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
11	2, 10	mpan2d 704	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
12		zleltp1 12615	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
13	3, 6, 12	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	11, 13	sylibrd 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
15		flle 13802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
16	15	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
17	6	zred 12670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
18		letr 11270	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴))
19	4, 17, 5, 18	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴))
20	16, 19	mpan2d 704	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴))
21	14, 20	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  1c1 11067   + caddc 11069   < clt 11209   ≤ cle 11210  ℤcz 12561  ⌊cfl 13793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fl 13795

This theorem is referenced by:  fllt  13809  flid  13811  flwordi  13815  flval2  13817  flval3  13818  flge0nn0  13823  flge1nn  13824  flmulnn0  13830  btwnzge0  13831  fznnfl  13865  modmuladdnn0  13921  absrdbnd  15359  limsupgre  15498  climrlim2  15564  isprm7  16733  hashdvds  16800  prmreclem3  16944  ovolunlem1a  25545  mbfi1fseqlem4  25767  mbfi1fseqlem5  25768  dvfsumlem1  26075  dvfsumlem3  26077  ppisval  27155  dvdsflf1o  27238  ppiub  27255  chtub  27263  fsumvma2  27265  chpval2  27269  chpchtsum  27270  efexple  27332  bposlem3  27337  bposlem4  27338  bposlem5  27339  gausslemma2dlem4  27420  lgsquadlem1  27431  lgsquadlem2  27432  chebbnd1lem2  27521  chebbnd1lem3  27522  dchrisum0lem1  27567  pntrlog2bndlem6  27634  pntpbnd1  27637  pntpbnd2  27638  pntlemh  27650  pntlemj  27654  pntlemf  27656  aks4d1p1p2  42647  aks4d1p3  42655  aks4d1p6  42658  aks4d1p7d1  42659  aks4d1p7  42660  aks4d1p8  42664  aks4d1p9  42665  aks6d1c2lem4  42704  aks6d1c2  42707  aks6d1c6lem4  42750  aks6d1c7lem1  42757  aks6d1c7lem2  42758  dirkertrigeqlem3  46634  nnolog2flm1  49172