Theorem fz0to3un2pr 13545

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12417	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12419	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		1le3 12352	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
4		elfz2nn0 13534	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0...3)
6		fzsplit 13466	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
8		1e0p1 12649	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
10		0z 12499	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		fzpr 13495	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
13		0p1e1 12262	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
14	13	preq2i 4694	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
15	9, 12, 14	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ (0...1) = {0, 1}
16		1p1e2 12265	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
17		df-3 12209	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	16, 17	oveq12i 7370	. . . 4 ⊢ ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
19		2z 12523	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13495	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22		2p1e3 12282	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	preq2i 4694	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
24	18, 21, 23	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((1 + 1)...3) = {2, 3}
25	15, 24	uneq12i 4118	. 2 ⊢ ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
26	7, 25	eqtri 2759	1 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899  {cpr 4582   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167  2c2 12200  3c3 12201  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  iblcnlem1  25745  3wlkdlem4  30237  ply1dg3rt0irred  33665