Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to3un2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0to3un2pr 13004
 Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
fz0to3un2pr (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fz0to3un2pr
StepHypRef Expression
1 1nn0 11907 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11909 . . . 4 3 ∈ ℕ0
3 1le3 11843 . . . 4 1 ≤ 3
4 elfz2nn0 12993 . . . 4 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
51, 2, 3, 4mpbir3an 1335 . . 3 1 ∈ (0...3)
6 fzsplit 12928 . . 3 (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
75, 6ax-mp 5 . 2 (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
8 1e0p1 12134 . . . . 5 1 = (0 + 1)
98oveq2i 7161 . . . 4 (0...1) = (0...(0 + 1))
10 0z 11986 . . . . 5 0 ∈ ℤ
11 fzpr 12957 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
13 0p1e1 11753 . . . . 5 (0 + 1) = 1
1413preq2i 4672 . . . 4 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
159, 12, 143eqtri 2853 . . 3 (0...1) = {0, 1}
16 1p1e2 11756 . . . . 5 (1 + 1) = 2
17 df-3 11695 . . . . 5 3 = (2 + 1)
1816, 17oveq12i 7162 . . . 4 ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
19 2z 12008 . . . . 5 2 ∈ ℤ
20 fzpr 12957 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22 2p1e3 11773 . . . . 5 (2 + 1) = 3
2322preq2i 4672 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
2418, 21, 233eqtri 2853 . . 3 ((1 + 1)...3) = {2, 3}
2515, 24uneq12i 4141 . 2 ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
267, 25eqtri 2849 1 (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3938  {cpr 4566   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   ≤ cle 10670  2c2 11686  3c3 11687  ℕ0cn0 11891  ℤcz 11975  ...cfz 12887 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888 This theorem is referenced by:  iblcnlem1  24322  3wlkdlem4  27874
 Copyright terms: Public domain W3C validator