MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to3un2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0to3un2pr 12997
Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
fz0to3un2pr (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fz0to3un2pr
StepHypRef Expression
1 1nn0 11901 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11903 . . . 4 3 ∈ ℕ0
3 1le3 11837 . . . 4 1 ≤ 3
4 elfz2nn0 12986 . . . 4 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
51, 2, 3, 4mpbir3an 1333 . . 3 1 ∈ (0...3)
6 fzsplit 12921 . . 3 (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
75, 6ax-mp 5 . 2 (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
8 1e0p1 12128 . . . . 5 1 = (0 + 1)
98oveq2i 7156 . . . 4 (0...1) = (0...(0 + 1))
10 0z 11980 . . . . 5 0 ∈ ℤ
11 fzpr 12950 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
13 0p1e1 11747 . . . . 5 (0 + 1) = 1
1413preq2i 4665 . . . 4 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
159, 12, 143eqtri 2845 . . 3 (0...1) = {0, 1}
16 1p1e2 11750 . . . . 5 (1 + 1) = 2
17 df-3 11689 . . . . 5 3 = (2 + 1)
1816, 17oveq12i 7157 . . . 4 ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
19 2z 12002 . . . . 5 2 ∈ ℤ
20 fzpr 12950 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22 2p1e3 11767 . . . . 5 (2 + 1) = 3
2322preq2i 4665 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
2418, 21, 233eqtri 2845 . . 3 ((1 + 1)...3) = {2, 3}
2515, 24uneq12i 4134 . 2 ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
267, 25eqtri 2841 1 (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  cun 3931  {cpr 4559   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  iblcnlem1  24315  3wlkdlem4  27868
  Copyright terms: Public domain W3C validator