Theorem fz0to3un2pr 13633

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12516	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12518	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		1le3 12452	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
4		elfz2nn0 13622	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1338	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0...3)
6		fzsplit 13557	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
8		1e0p1 12747	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq2i 7426	. . . 4 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
10		0z 12597	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		fzpr 13586	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
13		0p1e1 12362	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
14	13	preq2i 4737	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
15	9, 12, 14	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ (0...1) = {0, 1}
16		1p1e2 12365	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
17		df-3 12304	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	16, 17	oveq12i 7427	. . . 4 ⊢ ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
19		2z 12622	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13586	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22		2p1e3 12382	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	preq2i 4737	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
24	18, 21, 23	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ ((1 + 1)...3) = {2, 3}
25	15, 24	uneq12i 4154	. 2 ⊢ ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
26	7, 25	eqtri 2753	1 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3938  {cpr 4626   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ≤ cle 11277  2c2 12295  3c3 12296  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12586  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  iblcnlem1  25733  3wlkdlem4  30014