Theorem fzoun 13723

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzoun	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem fzoun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12879	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12884	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		nn0z 12635	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zaddcl 12654	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
7	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		eluzle 12887	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10		nn0ge0 12549	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐶)
11	10	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
12		eluzelre 12885	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		nn0re 12533	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		addge01 11774	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
15	12, 13, 14	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
16	11, 15	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶))
17	2, 6, 7, 9, 16	elfzd 13546	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)))
18		fzosplit 13719	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3945   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158   + caddc 11161   ≤ cle 11299  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12874  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  29922  metakunt20  41910