Theorem fzoun 13352

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzoun	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem fzoun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12516	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12521	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		nn0z 12273	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zaddcl 12290	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
7	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		eluzle 12524	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10		nn0ge0 12188	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐶)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
12		eluzelre 12522	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		nn0re 12172	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		addge01 11415	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
15	12, 13, 14	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
16	11, 15	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶))
17	2, 6, 7, 9, 16	elfzd 13176	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)))
18		fzosplit 13348	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  28254  metakunt20  40072