Theorem fzoun 13718

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzoun	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem fzoun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12862	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12867	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		nn0z 12618	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zaddcl 12637	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
7	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		eluzle 12870	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10		nn0ge0 12531	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐶)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
12		eluzelre 12868	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		nn0re 12515	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		addge01 11752	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
16	11, 15	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶))
17	2, 6, 7, 9, 16	elfzd 13537	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)))
18		fzosplit 13714	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134   + caddc 11137   ≤ cle 11275  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  29975