Theorem fzoun 13855

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzoun	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem fzoun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12994	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12999	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		nn0z 12741	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zaddcl 12760	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
7	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		eluzle 13002	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10		nn0ge0 12655	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐶)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
12		eluzelre 13000	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		nn0re 12639	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		addge01 11850	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
16	11, 15	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶))
17	2, 6, 7, 9, 16	elfzd 13671	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)))
18		fzosplit 13851	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
19	17, 18	syl 18	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224   + caddc 11227   ≤ cle 11368  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ...cfz 13663  ..^cfzo 13812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813

This theorem is used by:  clwwlkccatlem  30607