MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzoun 13723
Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
fzoun ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem fzoun
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12879 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
21adantr 479 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 eluzelz 12884 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 nn0z 12635 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℤ)
5 zaddcl 12654 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2an 594 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
73adantr 479 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8 eluzle 12887 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴𝐵)
98adantr 479 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐵)
10 nn0ge0 12549 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐶)
1110adantl 480 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
12 eluzelre 12885 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 nn0re 12533 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ)
14 addge01 11774 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
1512, 13, 14syl2an 594 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐶𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
1611, 15mpbid 231 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝐶))
172, 6, 7, 9, 16elfzd 13546 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)))
18 fzosplit 13719 . 2 (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 𝐶)) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
1917, 18syl 17 1 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴..^(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cun 3945   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158   + caddc 11161  cle 11299  0cn0 12524  cz 12610  cuz 12874  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682
This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  29922  metakunt20  41910
  Copyright terms: Public domain W3C validator