Theorem fzsplit1nn0 43718

Description: Split a finite 1-based set of integers in the middle, allowing either end to be empty ((1...0)). (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit1nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))

Proof of Theorem fzsplit1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		1zzd 12708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 1 ∈ ℤ)
3		nn0z 12698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		nnz 12695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nnge1 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 1 ≤ 𝐴)
9		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	2, 4, 6, 8, 9	elfzd 13628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (1...𝐵))
11		fzsplit 13664	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
13		uncom 4105	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)) = (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴))
14		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
16		0p1e1 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 1) = 1)
18	17	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 1)...𝐵) = (1...𝐵))
19		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐴) = (1...0))
21		fz10 13658	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...0) = ∅
22	20, 21	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐴) = ∅)
23	18, 22	uneq12d 4116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴)) = ((1...𝐵) ∪ ∅))
24		un0 4344	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝐵) ∪ ∅) = (1...𝐵)
25	23, 24	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴)) = (1...𝐵))
26	13, 25	eqtr2id 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
27	12, 26	jaoian 971	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
28	27	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵))))
29	1, 28	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵))))
30	29	3impib 1134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   ≤ cle 11325  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ...cfz 13620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621

This theorem is used by:  eldioph2lem1  43724