Theorem fzsplit1nn0 43607

Description: Split a finite 1-based set of integers in the middle, allowing either end to be empty ((1...0)). (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit1nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))

Proof of Theorem fzsplit1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12534	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		1zzd 12653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 1 ∈ ℤ)
3		nn0z 12643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		nnz 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nnge1 12292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 1 ≤ 𝐴)
9		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	2, 4, 6, 8, 9	elfzd 13573	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (1...𝐵))
11		fzsplit 13609	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
13		uncom 4108	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)) = (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴))
14		oveq1 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
16		0p1e1 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 1) = 1)
18	17	oveq1d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 1)...𝐵) = (1...𝐵))
19		oveq2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐴) = (1...0))
21		fz10 13603	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...0) = ∅
22	20, 21	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐴) = ∅)
23	18, 22	uneq12d 4119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴)) = ((1...𝐵) ∪ ∅))
24		un0 4347	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝐵) ∪ ∅) = (1...𝐵)
25	23, 24	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴)) = (1...𝐵))
26	13, 25	eqtr2id 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
27	12, 26	jaoian 971	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
28	27	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵))))
29	1, 28	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵))))
30	29	3impib 1134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ...cfz 13565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566

This theorem is used by:  eldioph2lem1  43613