Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzsplit1nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsplit1nn0 42741
Description: Split a finite 1-based set of integers in the middle, allowing either end to be empty ((1...0)). (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit1nn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))

Proof of Theorem fzsplit1nn0
StepHypRef Expression
1 elnn0 12525 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 1zzd 12645 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 1 ∈ ℤ)
3 nn0z 12635 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
43ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 nnz 12631 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 nnge1 12291 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 1 ≤ 𝐴)
9 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
102, 4, 6, 8, 9elfzd 13551 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ (1...𝐵))
11 fzsplit 13586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
13 uncom 4167 . . . . . 6 ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)) = (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴))
14 oveq1 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
16 0p1e1 12385 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1715, 16eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (𝐴 + 1) = 1)
1817oveq1d 7445 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → ((𝐴 + 1)...𝐵) = (1...𝐵))
19 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐴) = (1...0))
21 fz10 13581 . . . . . . . . 9 (1...0) = ∅
2220, 21eqtrdi 2790 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐴) = ∅)
2318, 22uneq12d 4178 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴)) = ((1...𝐵) ∪ ∅))
24 un0 4399 . . . . . . 7 ((1...𝐵) ∪ ∅) = (1...𝐵)
2523, 24eqtrdi 2790 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴)) = (1...𝐵))
2613, 25eqtr2id 2787 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
2712, 26jaoian 958 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
2827ex 412 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵))))
291, 28sylbi 217 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵))))
30293impib 1115 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cun 3960  c0 4338   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cle 11293  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544
This theorem is referenced by:  eldioph2lem1  42747
  Copyright terms: Public domain W3C validator