Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzsplit1nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsplit1nn0 39682
Description: Split a finite 1-based set of integers in the middle, allowing either end to be empty ((1...0)). (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit1nn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))

Proof of Theorem fzsplit1nn0
StepHypRef Expression
1 elnn0 11891 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 nnge1 11657 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
32adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 1 ≤ 𝐴)
4 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
5 nnz 11996 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
65adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 1zzd 12005 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 1 ∈ ℤ)
8 nn0z 11997 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
98ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 elfz 12895 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐵) ↔ (1 ≤ 𝐴𝐴𝐵)))
116, 7, 9, 10syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ (1...𝐵) ↔ (1 ≤ 𝐴𝐴𝐵)))
123, 4, 11mpbir2and 712 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ (1...𝐵))
13 fzsplit 12932 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
15 uncom 4083 . . . . . 6 ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)) = (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴))
16 oveq1 7146 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
1716adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
18 0p1e1 11751 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1917, 18eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (𝐴 + 1) = 1)
2019oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → ((𝐴 + 1)...𝐵) = (1...𝐵))
21 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
2221adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐴) = (1...0))
23 fz10 12927 . . . . . . . . 9 (1...0) = ∅
2422, 23eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐴) = ∅)
2520, 24uneq12d 4094 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴)) = ((1...𝐵) ∪ ∅))
26 un0 4301 . . . . . . 7 ((1...𝐵) ∪ ∅) = (1...𝐵)
2725, 26eqtrdi 2852 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (((𝐴 + 1)...𝐵) ∪ (1...𝐴)) = (1...𝐵))
2815, 27syl5req 2849 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
2914, 28jaoian 954 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
3029ex 416 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵))))
311, 30sylbi 220 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵))))
32313impib 1113 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (1...𝐵) = ((1...𝐴) ∪ ((𝐴 + 1)...𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  cun 3882  c0 4246   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  cle 10669  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890
This theorem is referenced by:  eldioph2lem1  39688
  Copyright terms: Public domain W3C validator