Theorem gpg3kgrtriexlem3 48014

Description: Lemma 3 for gpg3kgrtriex 48018. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem3	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg3kgrtriex.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
2		3z 12633	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
4		nnz 12617	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12711	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
6		3t1e3 12413	. . . 4 ⊢ (3 · 1) = 3
7		nnge1 12276	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
8		1re 11243	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nnre 12255	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		3re 12328	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3pos 12353	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
12	10, 11	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
14		lemul2 12102	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
15	8, 9, 13, 14	mp3an2i 1467	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
16	7, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
17	6, 16	eqbrtrrid 5159	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
18		eluz2 12866	. . 3 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
19	3, 5, 17, 18	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
20	1, 19	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  0cc0 11137  1c1 11138   · cmul 11142   < clt 11277   ≤ cle 11278  ℕcn 12248  3c3 12304  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48018