Theorem gpg3kgrtriexlem3 48474

Description: Lemma 3 for gpg3kgrtriex 48478. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem3	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg3kgrtriex.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
2		3z 12538	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
4		nnz 12523	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12616	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
6		3t1e3 12319	. . . 4 ⊢ (3 · 1) = 3
7		nnge1 12187	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
8		1re 11146	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nnre 12166	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		3re 12239	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3pos 12264	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
12	10, 11	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
14		lemul2 12008	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
15	8, 9, 13, 14	mp3an2i 1469	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
16	7, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
17	6, 16	eqbrtrrid 5136	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
18		eluz2 12771	. . 3 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
19	3, 5, 17, 18	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
20	1, 19	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181  ℕcn 12159  3c3 12215  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48478