Theorem gpg3kgrtriexlem3 48671

Description: Lemma 3 for gpg3kgrtriex 48675. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem3	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg3kgrtriex.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
2		3z 12601	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
4		nnz 12586	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12680	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
6		3t1e3 12379	. . . 4 ⊢ (3 · 1) = 3
7		nnge1 12238	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
8		1re 11178	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nnre 12214	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		3re 12295	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3pos 12323	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
12	10, 11	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
14		lemul2 12041	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
15	8, 9, 13, 14	mp3an2i 1486	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
16	7, 15	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
17	6, 16	eqbrtrrid 5135	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
18		eluz2 12842	. . 3 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
19	3, 5, 17, 18	syl3anbrc 1356	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
20	1, 19	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12207  3c3 12270  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48675