Theorem gpg3kgrtriexlem3 47990

Description: Lemma 3 for gpg3kgrtriex 47994. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem3	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg3kgrtriex.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
2		3z 12654	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
4		nnz 12638	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12732	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
6		3t1e3 12435	. . . 4 ⊢ (3 · 1) = 3
7		nnge1 12298	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
8		1re 11265	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nnre 12277	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		3re 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3pos 12375	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
12	10, 11	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
14		lemul2 12124	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
15	8, 9, 13, 14	mp3an2i 1466	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
16	7, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
17	6, 16	eqbrtrrid 5185	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
18		eluz2 12888	. . 3 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
19	3, 5, 17, 18	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
20	1, 19	eqeltrid 2844	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1538   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  ℝcr 11158  0cc0 11159  1c1 11160   · cmul 11164   < clt 11299   ≤ cle 11300  ℕcn 12270  3c3 12326  ℤcz 12617  ℤ_≥cuz 12882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-n0 12531  df-z 12618  df-uz 12883

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  47994