Theorem gpg3kgrtriexlem3 49009

Description: Lemma 3 for gpg3kgrtriex 49013. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem3	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg3kgrtriex.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
2		3z 12655	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
4		nnz 12640	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12735	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
6		3t1e3 12433	. . . 4 ⊢ (3 · 1) = 3
7		nnge1 12292	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
8		1re 11236	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nnre 12268	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		3re 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3pos 12377	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
12	10, 11	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
14		lemul2 12096	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
15	8, 9, 13, 14	mp3an2i 1495	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
16	7, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
17	6, 16	eqbrtrrid 5145	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
18		eluz2 12897	. . 3 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
19	3, 5, 17, 18	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
20	1, 19	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  3c3 12324  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892

This theorem is used by:  gpg3kgrtriex  49013