Theorem gpg3kgrtriexlem2 49008

Description: Lemma 2 for gpg3kgrtriex 49013. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem2	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12268	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3rp 13052	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
5		nnrp 13058	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
6	4, 5	rpmulcld 13106	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ+)
7	2, 6	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 13977	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
9	1, 1, 7, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
10		nncn 12269	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
11	10	2timesd 12515	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
12	11	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
13	12	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = ((2 · 𝐾) mod 𝑁))
14		2cnd 12347	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15	14, 10	adddirp1d 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 + 1) · 𝐾) = ((2 · 𝐾) + 𝐾))
16		2p1e3 12410	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
17	16	oveq1i 7427	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) · 𝐾) = (3 · 𝐾)
18	15, 17	eqtr3di 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) + 𝐾) = (3 · 𝐾))
19	18	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod 𝑁))
20	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 = (3 · 𝐾))
21	20	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)))
22		modid0 13962	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ ℝ+ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
23	6, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
24	19, 21, 23	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0)
25		2nn 12342	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
27		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
28	26, 27	nnmulcld 12317	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12645	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
30		nnz 12640	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
31		3nn 12348	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
33	32, 27	nnmulcld 12317	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
34	2, 33	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
35		summodnegmod 16382	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
36	29, 30, 34, 35	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
37	24, 36	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
38	9, 13, 37	3eqtrrd 2802	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  -cneg 11470  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  ℤcz 12619  ℝ⁺crp 13046   mod cmo 13934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fl 13857  df-mod 13935  df-dvds 16349

This theorem is used by:  gpg3kgrtriexlem6  49012