Theorem gpg3kgrtriexlem2 48094

Description: Lemma 2 for gpg3kgrtriex 48099. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem2	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12124	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3rp 12888	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
5		nnrp 12894	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
6	4, 5	rpmulcld 12942	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ+)
7	2, 6	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 13808	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
9	1, 1, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
10		nncn 12125	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
11	10	2timesd 12356	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
12	11	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
13	12	oveq1d 7356	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = ((2 · 𝐾) mod 𝑁))
14		2cnd 12195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15	14, 10	adddirp1d 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 + 1) · 𝐾) = ((2 · 𝐾) + 𝐾))
16		2p1e3 12254	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
17	16	oveq1i 7351	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) · 𝐾) = (3 · 𝐾)
18	15, 17	eqtr3di 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) + 𝐾) = (3 · 𝐾))
19	18	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod 𝑁))
20	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 = (3 · 𝐾))
21	20	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)))
22		modid0 13793	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ ℝ+ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
23	6, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
24	19, 21, 23	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0)
25		2nn 12190	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
27		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
28	26, 27	nnmulcld 12170	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12487	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
30		nnz 12481	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
31		3nn 12196	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
33	32, 27	nnmulcld 12170	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
34	2, 33	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
35		summodnegmod 16189	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
36	29, 30, 34, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
37	24, 36	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
38	9, 13, 37	3eqtrrd 2770	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001   · cmul 11003  -cneg 11337  ℕcn 12117  2c2 12172  3c3 12173  ℤcz 12460  ℝ⁺crp 12882   mod cmo 13765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fl 13688  df-mod 13766  df-dvds 16156

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriexlem6  48098