Theorem gpg3kgrtriexlem2 48065

Description: Lemma 2 for gpg3kgrtriex 48070. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem2	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12194	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3rp 12963	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
5		nnrp 12969	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
6	4, 5	rpmulcld 13017	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ+)
7	2, 6	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 13880	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
9	1, 1, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
10		nncn 12195	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
11	10	2timesd 12431	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
12	11	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
13	12	oveq1d 7404	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = ((2 · 𝐾) mod 𝑁))
14		2cnd 12265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15	14, 10	adddirp1d 11206	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 + 1) · 𝐾) = ((2 · 𝐾) + 𝐾))
16		2p1e3 12329	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
17	16	oveq1i 7399	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) · 𝐾) = (3 · 𝐾)
18	15, 17	eqtr3di 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) + 𝐾) = (3 · 𝐾))
19	18	oveq1d 7404	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod 𝑁))
20	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 = (3 · 𝐾))
21	20	oveq2d 7405	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)))
22		modid0 13865	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ ℝ+ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
23	6, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
24	19, 21, 23	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0)
25		2nn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
27		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
28	26, 27	nnmulcld 12240	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12562	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
30		nnz 12556	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
31		3nn 12266	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
33	32, 27	nnmulcld 12240	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
34	2, 33	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
35		summodnegmod 16262	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
36	29, 30, 34, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
37	24, 36	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
38	9, 13, 37	3eqtrrd 2770	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079  -cneg 11412  ℕcn 12187  2c2 12242  3c3 12243  ℤcz 12535  ℝ⁺crp 12957   mod cmo 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fl 13760  df-mod 13838  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriexlem6  48069