Theorem gpg3kgrtriexlem2 48877

Description: Lemma 2 for gpg3kgrtriex 48882. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem2	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12246	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3rp 13028	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
5		nnrp 13034	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
6	4, 5	rpmulcld 13082	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ+)
7	2, 6	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 13952	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
9	1, 1, 7, 8	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
10		nncn 12247	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
11	10	2timesd 12493	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
12	11	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
13	12	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = ((2 · 𝐾) mod 𝑁))
14		2cnd 12325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15	14, 10	adddirp1d 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 + 1) · 𝐾) = ((2 · 𝐾) + 𝐾))
16		2p1e3 12388	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
17	16	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) · 𝐾) = (3 · 𝐾)
18	15, 17	eqtr3di 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) + 𝐾) = (3 · 𝐾))
19	18	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod 𝑁))
20	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 = (3 · 𝐾))
21	20	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)))
22		modid0 13937	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ ℝ+ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
23	6, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
24	19, 21, 23	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0)
25		2nn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
27		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
28	26, 27	nnmulcld 12295	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12623	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
30		nnz 12618	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
31		3nn 12326	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
33	32, 27	nnmulcld 12295	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
34	2, 33	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
35		summodnegmod 16350	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
36	29, 30, 34, 35	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
37	24, 36	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
38	9, 13, 37	3eqtrrd 2802	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  -cneg 11448  ℕcn 12239  2c2 12301  3c3 12302  ℤcz 12597  ℝ⁺crp 13022   mod cmo 13909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-mod 13910  df-dvds 16317

This theorem is used by:  gpg3kgrtriexlem6  48881