Theorem gpg3kgrtriexlem2 48576

Description: Lemma 2 for gpg3kgrtriex 48581. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem2	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12179	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3rp 12946	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
5		nnrp 12952	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
6	4, 5	rpmulcld 13000	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ+)
7	2, 6	eqeltrid 2844	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 13869	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
9	1, 1, 7, 8	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁))
10		nncn 12180	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
11	10	2timesd 12418	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
12	11	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
13	12	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 + 𝐾) mod 𝑁) = ((2 · 𝐾) mod 𝑁))
14		2cnd 12257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15	14, 10	adddirp1d 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 + 1) · 𝐾) = ((2 · 𝐾) + 𝐾))
16		2p1e3 12316	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
17	16	oveq1i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) · 𝐾) = (3 · 𝐾)
18	15, 17	eqtr3di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) + 𝐾) = (3 · 𝐾))
19	18	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod 𝑁))
20	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 = (3 · 𝐾))
21	20	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod 𝑁) = ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)))
22		modid0 13854	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ ℝ+ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
23	6, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) mod (3 · 𝐾)) = 0)
24	19, 21, 23	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0)
25		2nn 12252	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
27		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
28	26, 27	nnmulcld 12228	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12548	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
30		nnz 12543	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
31		3nn 12258	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
33	32, 27	nnmulcld 12228	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
34	2, 33	eqeltrid 2844	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
35		summodnegmod 16253	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
36	29, 30, 34, 35	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((((2 · 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = 0 ↔ ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁)))
37	24, 36	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) mod 𝑁) = (-𝐾 mod 𝑁))
38	9, 13, 37	3eqtrrd 2780	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  -cneg 11376  ℕcn 12172  2c2 12234  3c3 12235  ℤcz 12522  ℝ⁺crp 12940   mod cmo 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fl 13749  df-mod 13827  df-dvds 16220

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriexlem6  48580