Theorem gpg3kgrtriexlem4 48828

Description: Lemma 4 for gpg3kgrtriex 48831. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem4	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3	2	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑁 / 2) = ((3 · 𝐾) / 2)
4		3re 12322	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
6		nnre 12241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
7	5, 6	remulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
8	7	rehalfcld 12492	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
9	3, 8	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
10	9	ceilcld 13878	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
11		1red 11210	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12	2, 7	eqeltrid 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	13	ceilcld 13878	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12701	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
16		nnge1 12265	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
17	8	ceilcld 13878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
18	17	zred 12701	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
19		gpg3kgrtriexlem1 48825	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
20	6, 18, 19	ltled 11359	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
21	3	fveq2i 6886	. . . . 5 ⊢ (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘((3 · 𝐾) / 2))
22	20, 21	breqtrrdi 5154	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
23	11, 6, 15, 16, 22	letrd 11368	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
24		elnnz1 12621	. . 3 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
25	10, 23, 24	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
26	19, 21	breqtrrdi 5154	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
27		elfzo1 13743	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
28	1, 25, 26, 27	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  3c3 12297  ℤcz 12592  ..^cfzo 13684  ⌈cceil 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-ceil 13828

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48831