Theorem gpg3kgrtriexlem4 48328

Description: Lemma 4 for gpg3kgrtriex 48331. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem4	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3	2	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑁 / 2) = ((3 · 𝐾) / 2)
4		3re 12225	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
6		nnre 12152	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
7	5, 6	remulcld 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
8	7	rehalfcld 12388	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
9	3, 8	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
10	9	ceilcld 13763	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
11		1red 11133	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12	2, 7	eqeltrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12388	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	13	ceilcld 13763	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12596	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
16		nnge1 12173	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
17	8	ceilcld 13763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
18	17	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
19		gpg3kgrtriexlem1 48325	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
20	6, 18, 19	ltled 11281	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
21	3	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘((3 · 𝐾) / 2))
22	20, 21	breqtrrdi 5140	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
23	11, 6, 15, 16, 22	letrd 11290	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
24		elnnz1 12517	. . 3 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
25	10, 23, 24	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
26	19, 21	breqtrrdi 5140	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
27		elfzo1 13628	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
28	1, 25, 26, 27	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570  ⌈cceil 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-ceil 13713

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48331