Theorem gpg3kgrtriexlem4 48030

Description: Lemma 4 for gpg3kgrtriex 48033. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem4	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3	2	oveq1i 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑁 / 2) = ((3 · 𝐾) / 2)
4		3re 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
6		nnre 12204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
7	5, 6	remulcld 11222	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
8	7	rehalfcld 12445	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
9	3, 8	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
10	9	ceilcld 13817	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
11		1red 11193	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12	2, 7	eqeltrid 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 12445	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	13	ceilcld 13817	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12654	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
16		nnge1 12225	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
17	8	ceilcld 13817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
18	17	zred 12654	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
19		gpg3kgrtriexlem1 48027	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
20	6, 18, 19	ltled 11340	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
21	3	fveq2i 6868	. . . . 5 ⊢ (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘((3 · 𝐾) / 2))
22	20, 21	breqtrrdi 5157	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
23	11, 6, 15, 16, 22	letrd 11349	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
24		elnnz1 12575	. . 3 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
25	10, 23, 24	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
26	19, 21	breqtrrdi 5157	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
27		elfzo1 13686	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
28	1, 25, 26, 27	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  ℝcr 11085  1c1 11087   · cmul 11091   < clt 11226   ≤ cle 11227   / cdiv 11851  ℕcn 12197  2c2 12252  3c3 12253  ℤcz 12545  ..^cfzo 13628  ⌈cceil 13765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9411  df-inf 9412  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-fl 13766  df-ceil 13767

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48033