Theorem atom1d 32289

Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atom1d	⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem atom1d

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elat2 32276	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))))
2		chne0 31430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ))
3		nfv 1910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ Cℋ
4		nfv 1910	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ))
5		nfre1 3273	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
6	4, 5	nfim 1892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
7		chel 31166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
8	7	adantrr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
9	8	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
10		simprlr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝑥 ≠ 0ℎ)
11		h1dn0 31488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
12	7, 11	sylan 578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
13	12	anasss 465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ)) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
14	13	adantrr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
15		ch1dle 32288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴)
16		snssi 4817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → {𝑥} ⊆ ℋ)
17		occl 31240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ )
18	7, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ )
19		choccl 31242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ Cℋ )
20		sseq1 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴))
21		eqeq1 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴))
22		eqeq1 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 0ℋ ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
23	21, 22	orbi12d 916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)))
24	20, 23	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
25	24	rspcv 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
26	18, 19, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
27	15, 26	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)))
28	27	impr 453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
29	28	adantrlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
30	29	ord 862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
31		nne 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)
32	30, 31	imbitrrdi 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → ¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ))
33	14, 32	mt4d 117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴)
34	33	eqcomd 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
35		rspe 3237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
36	9, 10, 34, 35	syl12anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
37	36	exp44 436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))))
38	3, 6, 37	rexlimd 3254	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
39	2, 38	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
40	39	imp32 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
41	1, 40	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
42		h1da 32285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms)
43		eleq1 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms))
44	42, 43	imbitrrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → 𝐴 ∈ HAtoms))
45	44	expdcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
46	45	impd 409	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
47	46	rexlimiv 3138	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms)
48	41, 47	impbii 208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
49		spansn 31495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (span‘{𝑥}) = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
50	49	eqeq2d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 = (span‘{𝑥}) ↔ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
51	50	anbi2d 628	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))
52	51	rexbiia 3082	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
53	48, 52	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947  {csn 4633  ‘cfv 6556   ℋchba 30855  0_ℎc0v 30860   C_ℋ cch 30865  ⊥cort 30866  spancspn 30868  0_ℋc0h 30871  HAtomscat 30901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cc 10480  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238  ax-addf 11239  ax-mulf 11240  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-oadd 8502  df-omul 8503  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-fi 9456  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-acn 9987  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13384  df-ico 13386  df-icc 13387  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-fl 13814  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14350  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-clim 15492  df-rlim 15493  df-sum 15693  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-starv 17283  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-unif 17291  df-hom 17292  df-cco 17293  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-mulg 19064  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-psmet 21337  df-xmet 21338  df-met 21339  df-bl 21340  df-mopn 21341  df-fbas 21342  df-fg 21343  df-cnfld 21346  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-lm 23227  df-haus 23313  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-cfil 25277  df-cau 25278  df-cmet 25279  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-span 31245  df-cv 32215  df-at 32274

This theorem is referenced by:  superpos  32290  chcv1  32291  chjatom  32293