Theorem atom1d 32424

Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atom1d	⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem atom1d

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elat2 32411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))))
2		chne0 31565	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ))
3		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ Cℋ
4		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ))
5		nfre1 3263	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
6	4, 5	nfim 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
7		chel 31301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
8	7	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
9	8	adantrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
10		simprlr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝑥 ≠ 0ℎ)
11		h1dn0 31623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
12	7, 11	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
13	12	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ)) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
14	13	adantrr 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
15		ch1dle 32423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴)
16		snssi 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → {𝑥} ⊆ ℋ)
17		occl 31375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ )
18	7, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ )
19		choccl 31377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ Cℋ )
20		sseq1 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴))
21		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴))
22		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 0ℋ ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
23	21, 22	orbi12d 919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)))
24	20, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
25	24	rspcv 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
26	18, 19, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
27	15, 26	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)))
28	27	impr 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
29	28	adantrlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
30	29	ord 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
31		nne 2937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)
32	30, 31	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → ¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ))
33	14, 32	mt4d 117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴)
34	33	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
35		rspe 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
36	9, 10, 34, 35	syl12anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
37	36	exp44 437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))))
38	3, 6, 37	rexlimd 3245	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
39	2, 38	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
40	39	imp32 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
41	1, 40	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
42		h1da 32420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms)
43		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms))
44	42, 43	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → 𝐴 ∈ HAtoms))
45	44	expdcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
46	45	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
47	46	rexlimiv 3132	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms)
48	41, 47	impbii 209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
49		spansn 31630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (span‘{𝑥}) = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
50	49	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 = (span‘{𝑥}) ↔ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
51	50	anbi2d 631	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))
52	51	rexbiia 3083	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
53	48, 52	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6499   ℋchba 30990  0_ℎc0v 30995   C_ℋ cch 31000  ⊥cort 31001  spancspn 31003  0_ℋc0h 31006  HAtomscat 31036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156  ax-hcompl 31273

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ssp 30793  df-ph 30884  df-cbn 30934  df-hnorm 31039  df-hba 31040  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-hcau 31044  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324  df-span 31380  df-cv 32350  df-at 32409

This theorem is referenced by:  superpos  32425  chcv1  32426  chjatom  32428