Theorem atom1d 32671

Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atom1d	⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem atom1d

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elat2 32658	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))))
2		chne0 31812	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ))
3		nfv 1942	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ Cℋ
4		nfv 1942	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ))
5		nfre1 3288	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
6	4, 5	nfim 1924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
7		chel 31548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
8	7	adantrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
9	8	adantrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
10		simprlr 791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝑥 ≠ 0ℎ)
11		h1dn0 31870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
12	7, 11	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
13	12	anasss 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ)) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
14	13	adantrr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
15		ch1dle 32670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴)
16		snssi 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → {𝑥} ⊆ ℋ)
17		occl 31622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ )
18	7, 16, 17	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ )
19		choccl 31624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ Cℋ )
20		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴))
21		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴))
22		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 0ℋ ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
23	21, 22	orbi12d 931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)))
24	20, 23	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
25	24	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
26	18, 19, 25	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
27	15, 26	mpid 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)))
28	27	impr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
29	28	adantrlr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
30	29	ord 877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
31		nne 2960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)
32	30, 31	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → ¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ))
33	14, 32	mt4d 118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴)
34	33	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
35		rspe 3253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
36	9, 10, 34, 35	syl12anc 849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
37	36	exp44 442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))))
38	3, 6, 37	rexlimd 3270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
39	2, 38	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
40	39	imp32 423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
41	1, 40	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
42		h1da 32667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms)
43		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms))
44	42, 43	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → 𝐴 ∈ HAtoms))
45	44	expdcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
46	45	impd 415	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
47	46	rexlimiv 3157	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms)
48	41, 47	impbii 212	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
49		spansn 31877	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (span‘{𝑥}) = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
50	49	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 = (span‘{𝑥}) ↔ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
51	50	anbi2d 641	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))
52	51	rexbiia 3108	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
53	48, 52	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ‘cfv 6536   ℋchba 31237  0_ℎc0v 31242   C_ℋ cch 31247  ⊥cort 31248  spancspn 31250  0_ℋc0h 31253  HAtomscat 31283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179  ax-hilex 31317  ax-hfvadd 31318  ax-hvcom 31319  ax-hvass 31320  ax-hv0cl 31321  ax-hvaddid 31322  ax-hfvmul 31323  ax-hvmulid 31324  ax-hvmulass 31325  ax-hvdistr1 31326  ax-hvdistr2 31327  ax-hvmul0 31328  ax-hfi 31397  ax-his1 31400  ax-his2 31401  ax-his3 31402  ax-his4 31403  ax-hcompl 31520

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-lm 23365  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cfil 25393  df-cau 25394  df-cmet 25395  df-grpo 30811  df-gid 30812  df-ginv 30813  df-gdiv 30814  df-ablo 30863  df-vc 30877  df-nv 30910  df-va 30913  df-ba 30914  df-sm 30915  df-0v 30916  df-vs 30917  df-nmcv 30918  df-ims 30919  df-dip 31019  df-ssp 31040  df-ph 31131  df-cbn 31181  df-hnorm 31286  df-hba 31287  df-hvsub 31289  df-hlim 31290  df-hcau 31291  df-sh 31525  df-ch 31539  df-oc 31570  df-ch0 31571  df-span 31627  df-cv 32597  df-at 32656

This theorem is referenced by:  superpos  32672  chcv1  32673  chjatom  32675