HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atom1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atom1d 32289
Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atom1d (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem atom1d
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elat2 32276 . . . 4 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))))
2 chne0 31430 . . . . . 6 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0))
3 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑥 𝐴C
4 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑥𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0))
5 nfre1 3273 . . . . . . . 8 𝑥𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
64, 5nfim 1892 . . . . . . 7 𝑥(∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
7 chel 31166 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
87adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℋ)
98adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
10 simprlr 778 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝑥 ≠ 0)
11 h1dn0 31488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
127, 11sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴C𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
1312anasss 465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
1413adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
15 ch1dle 32288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥𝐴) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴)
16 snssi 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → {𝑥} ⊆ ℋ)
17 occl 31240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝑥}) ∈ C )
187, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴C𝑥𝐴) → (⊥‘{𝑥}) ∈ C )
19 choccl 31242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊥‘{𝑥}) ∈ C → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ C )
20 sseq1 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴))
21 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴))
22 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 0 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
2321, 22orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 = 𝐴𝑦 = 0) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)))
2420, 23imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2524rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ C → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥𝐴) → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2715, 26mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝑥𝐴) → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)))
2827impr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
2928adantrlr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
3029ord 862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
31 nne 2934 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)
3230, 31imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → ¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0))
3314, 32mt4d 117 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴)
3433eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
35 rspe 3237 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
369, 10, 34, 35syl12anc 835 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
3736exp44 436 . . . . . . 7 (𝐴C → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))))
383, 6, 37rexlimd 3254 . . . . . 6 (𝐴C → (∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
392, 38sylbid 239 . . . . 5 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
4039imp32 417 . . . 4 ((𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
411, 40sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
42 h1da 32285 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms)
43 eleq1 2814 . . . . . . 7 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms))
4442, 43imbitrrid 245 . . . . . 6 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝐴 ∈ HAtoms))
4544expdcom 413 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0 → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
4645impd 409 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
4746rexlimiv 3138 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms)
4841, 47impbii 208 . 2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
49 spansn 31495 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (span‘{𝑥}) = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
5049eqeq2d 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 = (span‘{𝑥}) ↔ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
5150anbi2d 628 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))
5251rexbiia 3082 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
5348, 52bitr4i 277 1 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  wss 3947  {csn 4633  cfv 6556  chba 30855  0c0v 30860   C cch 30865  cort 30866  spancspn 30868  0c0h 30871  HAtomscat 30901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cc 10480  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238  ax-addf 11239  ax-mulf 11240  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-oadd 8502  df-omul 8503  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-fi 9456  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-acn 9987  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13384  df-ico 13386  df-icc 13387  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-fl 13814  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14350  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-clim 15492  df-rlim 15493  df-sum 15693  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-starv 17283  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-unif 17291  df-hom 17292  df-cco 17293  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-mulg 19064  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-psmet 21337  df-xmet 21338  df-met 21339  df-bl 21340  df-mopn 21341  df-fbas 21342  df-fg 21343  df-cnfld 21346  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-lm 23227  df-haus 23313  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-cfil 25277  df-cau 25278  df-cmet 25279  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-span 31245  df-cv 32215  df-at 32274
This theorem is referenced by:  superpos  32290  chcv1  32291  chjatom  32293
  Copyright terms: Public domain W3C validator