HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atom1d Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atom1d 32150
Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atom1d (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem atom1d
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elat2 32137 . . . 4 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (𝐴 β‰  0β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))))
2 chne0 31291 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (𝐴 β‰  0β„‹ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  0β„Ž))
3 nfv 1910 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝐴 ∈ Cβ„‹
4 nfv 1910 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹))
5 nfre1 3277 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
64, 5nfim 1892 . . . . . . 7 β„²π‘₯(βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
7 chel 31027 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
87adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž)) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
98adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
10 simprlr 779 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ π‘₯ β‰  0β„Ž)
11 h1dn0 31349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
127, 11sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
1312anasss 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž)) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
1413adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
15 ch1dle 32149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴)
16 snssi 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ {π‘₯} βŠ† β„‹)
17 occl 31101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({π‘₯} βŠ† β„‹ β†’ (βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ )
187, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ )
19 choccl 31103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ Cβ„‹ )
20 sseq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴))
21 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 = 𝐴 ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴))
22 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 = 0β„‹ ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
2321, 22orbi12d 917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹) ↔ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)))
2420, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) ↔ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2524rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ Cβ„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2715, 26mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)))
2827impr 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
2928adantrlr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
3029ord 863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
31 nne 2939 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹ ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)
3230, 31imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 β†’ Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹))
3314, 32mt4d 117 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴)
3433eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
35 rspe 3241 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
369, 10, 34, 35syl12anc 836 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
3736exp44 437 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))))))
383, 6, 37rexlimd 3258 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))))
392, 38sylbid 239 . . . . 5 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (𝐴 β‰  0β„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))))
4039imp32 418 . . . 4 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (𝐴 β‰  0β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
411, 40sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
42 h1da 32146 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ HAtoms)
43 eleq1 2816 . . . . . . 7 (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ HAtoms))
4442, 43imbitrrid 245 . . . . . 6 (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms))
4544expdcom 414 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms)))
4645impd 410 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms))
4746rexlimiv 3143 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms)
4841, 47impbii 208 . 2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
49 spansn 31356 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{π‘₯}) = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
5049eqeq2d 2738 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯}) ↔ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
5150anbi2d 628 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})) ↔ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))))
5251rexbiia 3087 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
5348, 52bitr4i 278 1 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944  {csn 4624  β€˜cfv 6542   β„‹chba 30716  0β„Žc0v 30721   Cβ„‹ cch 30726  βŠ₯cort 30727  spancspn 30729  0β„‹c0h 30732  HAtomscat 30762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210  ax-hilex 30796  ax-hfvadd 30797  ax-hvcom 30798  ax-hvass 30799  ax-hv0cl 30800  ax-hvaddid 30801  ax-hfvmul 30802  ax-hvmulid 30803  ax-hvmulass 30804  ax-hvdistr1 30805  ax-hvdistr2 30806  ax-hvmul0 30807  ax-hfi 30876  ax-his1 30879  ax-his2 30880  ax-his3 30881  ax-his4 30882  ax-hcompl 30999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-lm 23120  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cfil 25170  df-cau 25171  df-cmet 25172  df-grpo 30290  df-gid 30291  df-ginv 30292  df-gdiv 30293  df-ablo 30342  df-vc 30356  df-nv 30389  df-va 30392  df-ba 30393  df-sm 30394  df-0v 30395  df-vs 30396  df-nmcv 30397  df-ims 30398  df-dip 30498  df-ssp 30519  df-ph 30610  df-cbn 30660  df-hnorm 30765  df-hba 30766  df-hvsub 30768  df-hlim 30769  df-hcau 30770  df-sh 31004  df-ch 31018  df-oc 31049  df-ch0 31050  df-span 31106  df-cv 32076  df-at 32135
This theorem is referenced by:  superpos  32151  chcv1  32152  chjatom  32154
  Copyright terms: Public domain W3C validator