HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atom1d Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atom1d 31606
Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atom1d (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem atom1d
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elat2 31593 . . . 4 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (𝐴 β‰  0β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))))
2 chne0 30747 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (𝐴 β‰  0β„‹ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  0β„Ž))
3 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝐴 ∈ Cβ„‹
4 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹))
5 nfre1 3283 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
64, 5nfim 1900 . . . . . . 7 β„²π‘₯(βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
7 chel 30483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
87adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž)) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
98adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
10 simprlr 779 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ π‘₯ β‰  0β„Ž)
11 h1dn0 30805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
127, 11sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
1312anasss 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž)) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
1413adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
15 ch1dle 31605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴)
16 snssi 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ {π‘₯} βŠ† β„‹)
17 occl 30557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({π‘₯} βŠ† β„‹ β†’ (βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ )
187, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ )
19 choccl 30559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ Cβ„‹ )
20 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴))
21 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 = 𝐴 ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴))
22 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 = 0β„‹ ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
2321, 22orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹) ↔ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)))
2420, 23imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) ↔ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2524rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ Cβ„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2715, 26mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)))
2827impr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
2928adantrlr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
3029ord 863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
31 nne 2945 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹ ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)
3230, 31syl6ibr 252 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 β†’ Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹))
3314, 32mt4d 117 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴)
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
35 rspe 3247 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
369, 10, 34, 35syl12anc 836 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
3736exp44 439 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))))))
383, 6, 37rexlimd 3264 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))))
392, 38sylbid 239 . . . . 5 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (𝐴 β‰  0β„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))))
4039imp32 420 . . . 4 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (𝐴 β‰  0β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
411, 40sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
42 h1da 31602 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ HAtoms)
43 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ HAtoms))
4442, 43imbitrrid 245 . . . . . 6 (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms))
4544expdcom 416 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms)))
4645impd 412 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms))
4746rexlimiv 3149 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms)
4841, 47impbii 208 . 2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
49 spansn 30812 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{π‘₯}) = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
5049eqeq2d 2744 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯}) ↔ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
5150anbi2d 630 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})) ↔ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))))
5251rexbiia 3093 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
5348, 52bitr4i 278 1 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544   β„‹chba 30172  0β„Žc0v 30177   Cβ„‹ cch 30182  βŠ₯cort 30183  spancspn 30185  0β„‹c0h 30188  HAtomscat 30218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-span 30562  df-cv 31532  df-at 31591
This theorem is referenced by:  superpos  31607  chcv1  31608  chjatom  31610
  Copyright terms: Public domain W3C validator