Theorem atom1d 32412

Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atom1d	⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem atom1d

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elat2 32399	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))))
2		chne0 31553	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ))
3		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ Cℋ
4		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ))
5		nfre1 3260	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
6	4, 5	nfim 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
7		chel 31289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
8	7	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ)) → 𝑥 ∈ ℋ)
9	8	adantrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
10		simprlr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝑥 ≠ 0ℎ)
11		h1dn0 31611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
12	7, 11	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
13	12	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ)) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
14	13	adantrr 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ)
15		ch1dle 32411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴)
16		snssi 4719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → {𝑥} ⊆ ℋ)
17		occl 31363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ )
18	7, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ )
19		choccl 31365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊥‘{𝑥}) ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ Cℋ )
20		sseq1 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴))
21		eqeq1 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴))
22		eqeq1 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 0ℋ ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
23	21, 22	orbi12d 919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)))
24	20, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
25	24	rspcv 3558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
26	18, 19, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))))
27	15, 26	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)))
28	27	impr 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
29	28	adantrlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
30	29	ord 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ))
31		nne 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0ℋ)
32	30, 31	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → ¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0ℋ))
33	14, 32	mt4d 117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴)
34	33	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
35		rspe 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
36	9, 10, 34, 35	syl12anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
37	36	exp44 437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℎ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))))
38	3, 6, 37	rexlimd 3242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 0ℎ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
39	2, 38	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
40	39	imp32 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0ℋ)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
41	1, 40	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
42		h1da 32408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms)
43		eleq1 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms))
44	42, 43	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0ℎ) → 𝐴 ∈ HAtoms))
45	44	expdcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
46	45	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
47	46	rexlimiv 3129	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms)
48	41, 47	impbii 209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
49		spansn 31618	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (span‘{𝑥}) = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
50	49	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 = (span‘{𝑥}) ↔ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
51	50	anbi2d 631	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))
52	51	rexbiia 3080	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
53	48, 52	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑥})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3885  {csn 4557  ‘cfv 6487   ℋchba 30978  0_ℎc0v 30983   C_ℋ cch 30988  ⊥cort 30989  spancspn 30991  0_ℋc0h 30994  HAtomscat 31024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107  ax-hilex 31058  ax-hfvadd 31059  ax-hvcom 31060  ax-hvass 31061  ax-hv0cl 31062  ax-hvaddid 31063  ax-hfvmul 31064  ax-hvmulid 31065  ax-hvmulass 31066  ax-hvdistr1 31067  ax-hvdistr2 31068  ax-hvmul0 31069  ax-hfi 31138  ax-his1 31141  ax-his2 31142  ax-his3 31143  ax-his4 31144  ax-hcompl 31261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-cnfld 21342  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-lm 23182  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24273  df-ms 24274  df-tms 24275  df-cfil 25210  df-cau 25211  df-cmet 25212  df-grpo 30552  df-gid 30553  df-ginv 30554  df-gdiv 30555  df-ablo 30604  df-vc 30618  df-nv 30651  df-va 30654  df-ba 30655  df-sm 30656  df-0v 30657  df-vs 30658  df-nmcv 30659  df-ims 30660  df-dip 30760  df-ssp 30781  df-ph 30872  df-cbn 30922  df-hnorm 31027  df-hba 31028  df-hvsub 31030  df-hlim 31031  df-hcau 31032  df-sh 31266  df-ch 31280  df-oc 31311  df-ch0 31312  df-span 31368  df-cv 32338  df-at 32397

This theorem is referenced by:  superpos  32413  chcv1  32414  chjatom  32416