HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atom1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atom1d 29538
Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atom1d (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem atom1d
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elat2 29525 . . . 4 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))))
2 chne0 28679 . . . . . 6 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0))
3 nfv 2005 . . . . . . 7 𝑥 𝐴C
4 nfv 2005 . . . . . . . 8 𝑥𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0))
5 nfre1 3190 . . . . . . . 8 𝑥𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
64, 5nfim 1987 . . . . . . 7 𝑥(∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
7 chel 28413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
87adantrr 699 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℋ)
98adantrr 699 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
10 simprlr 789 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝑥 ≠ 0)
11 h1dn0 28737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
127, 11sylan 571 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴C𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
1312anasss 454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
1413adantrr 699 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0)
15 ch1dle 29537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥𝐴) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴)
16 snssi 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → {𝑥} ⊆ ℋ)
17 occl 28489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝑥}) ∈ C )
187, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴C𝑥𝐴) → (⊥‘{𝑥}) ∈ C )
19 choccl 28491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊥‘{𝑥}) ∈ C → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ C )
20 sseq1 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴))
21 eqeq1 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴))
22 eqeq1 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝑦 = 0 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
2321, 22orbi12d 933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦 = 𝐴𝑦 = 0) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)))
2420, 23imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) ↔ ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2524rspcv 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ C → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥𝐴) → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) ⊆ 𝐴 → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))))
2715, 26mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝑥𝐴) → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)))
2827impr 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
2928adantrlr 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ((⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 ∨ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
3029ord 882 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0))
31 nne 2980 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0 ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 0)
3230, 31syl6ibr 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴 → ¬ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ≠ 0))
3314, 32mt4d 153 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) = 𝐴)
3433eqcomd 2810 . . . . . . . . 9 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
35 rspe 3188 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
369, 10, 34, 35syl12anc 856 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
3736exp44 426 . . . . . . 7 (𝐴C → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))))
383, 6, 37rexlimd 3212 . . . . . 6 (𝐴C → (∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
392, 38sylbid 231 . . . . 5 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 → (∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))))
4039imp32 407 . . . 4 ((𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑦C (𝑦𝐴 → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 0)))) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
411, 40sylbi 208 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
42 h1da 29534 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms)
43 eleq1 2871 . . . . . . 7 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (⊥‘(⊥‘{𝑥})) ∈ HAtoms))
4442, 43syl5ibr 237 . . . . . 6 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝐴 ∈ HAtoms))
4544expdcom 401 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0 → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
4645impd 398 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
4746rexlimiv 3213 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))) → 𝐴 ∈ HAtoms)
4841, 47impbii 200 . 2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
49 spansn 28744 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (span‘{𝑥}) = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))
5049eqeq2d 2814 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 = (span‘{𝑥}) ↔ 𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
5150anbi2d 616 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥})))))
5251rexbiia 3226 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝑥}))))
5348, 52bitr4i 269 1 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2976  wral 3094  wrex 3095  wss 3767  {csn 4368  cfv 6099  chil 28102  0c0v 28107   C cch 28112  cort 28113  spancspn 28115  0c0h 28118  HAtomscat 28148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-inf2 8783  ax-cc 9540  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-pre-sup 10297  ax-addf 10298  ax-mulf 10299  ax-hilex 28182  ax-hfvadd 28183  ax-hvcom 28184  ax-hvass 28185  ax-hv0cl 28186  ax-hvaddid 28187  ax-hfvmul 28188  ax-hvmulid 28189  ax-hvmulass 28190  ax-hvdistr1 28191  ax-hvdistr2 28192  ax-hvmul0 28193  ax-hfi 28262  ax-his1 28265  ax-his2 28266  ax-his3 28267  ax-his4 28268  ax-hcompl 28385
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-se 5269  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-of 7125  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-supp 7528  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-2o 7795  df-oadd 7798  df-omul 7799  df-er 7977  df-map 8092  df-pm 8093  df-ixp 8144  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-fsupp 8513  df-fi 8554  df-sup 8585  df-inf 8586  df-oi 8652  df-card 9046  df-acn 9049  df-cda 9273  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-7 11367  df-8 11368  df-9 11369  df-n0 11558  df-z 11642  df-dec 11758  df-uz 11903  df-q 12006  df-rp 12045  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12395  df-ico 12397  df-icc 12398  df-fz 12548  df-fzo 12688  df-fl 12815  df-seq 13023  df-exp 13082  df-hash 13336  df-cj 14060  df-re 14061  df-im 14062  df-sqrt 14196  df-abs 14197  df-clim 14440  df-rlim 14441  df-sum 14638  df-struct 16068  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-ress 16074  df-plusg 16164  df-mulr 16165  df-starv 16166  df-sca 16167  df-vsca 16168  df-ip 16169  df-tset 16170  df-ple 16171  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16286  df-topn 16287  df-0g 16305  df-gsum 16306  df-topgen 16307  df-pt 16308  df-prds 16311  df-xrs 16365  df-qtop 16370  df-imas 16371  df-xps 16373  df-mre 16449  df-mrc 16450  df-acs 16452  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-submnd 17539  df-mulg 17744  df-cntz 17949  df-cmn 18394  df-psmet 19944  df-xmet 19945  df-met 19946  df-bl 19947  df-mopn 19948  df-fbas 19949  df-fg 19950  df-cnfld 19953  df-top 20910  df-topon 20927  df-topsp 20949  df-bases 20962  df-cld 21035  df-ntr 21036  df-cls 21037  df-nei 21114  df-cn 21243  df-cnp 21244  df-lm 21245  df-haus 21331  df-tx 21577  df-hmeo 21770  df-fil 21861  df-fm 21953  df-flim 21954  df-flf 21955  df-xms 22336  df-ms 22337  df-tms 22338  df-cfil 23263  df-cau 23264  df-cmet 23265  df-grpo 27674  df-gid 27675  df-ginv 27676  df-gdiv 27677  df-ablo 27726  df-vc 27740  df-nv 27773  df-va 27776  df-ba 27777  df-sm 27778  df-0v 27779  df-vs 27780  df-nmcv 27781  df-ims 27782  df-dip 27882  df-ssp 27903  df-ph 27994  df-cbn 28045  df-hnorm 28151  df-hba 28152  df-hvsub 28154  df-hlim 28155  df-hcau 28156  df-sh 28390  df-ch 28404  df-oc 28435  df-ch0 28436  df-span 28494  df-cv 29464  df-at 29523
This theorem is referenced by:  superpos  29539  chcv1  29540  chjatom  29542
  Copyright terms: Public domain W3C validator