HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atom1d Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atom1d 32219
Description: The 1-dimensional subspaces of Hilbert space are its atoms. Part of Remark 10.3.5 of [BeltramettiCassinelli] p. 107. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atom1d (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem atom1d
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elat2 32206 . . . 4 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (𝐴 β‰  0β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))))
2 chne0 31360 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (𝐴 β‰  0β„‹ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  0β„Ž))
3 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝐴 ∈ Cβ„‹
4 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹))
5 nfre1 3273 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
64, 5nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘₯(βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
7 chel 31096 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
87adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž)) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
98adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
10 simprlr 778 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ π‘₯ β‰  0β„Ž)
11 h1dn0 31418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
127, 11sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
1312anasss 465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž)) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
1413adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹)
15 ch1dle 32218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴)
16 snssi 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ {π‘₯} βŠ† β„‹)
17 occl 31170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({π‘₯} βŠ† β„‹ β†’ (βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ )
187, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ )
19 choccl 31172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŠ₯β€˜{π‘₯}) ∈ Cβ„‹ β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ Cβ„‹ )
20 sseq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴))
21 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 = 𝐴 ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴))
22 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑦 = 0β„‹ ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
2321, 22orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹) ↔ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)))
2420, 23imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) ↔ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2524rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ Cβ„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝐴 β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))))
2715, 26mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)))
2827impr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
2928adantrlr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ ((βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 ∨ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
3029ord 862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹))
31 nne 2934 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹ ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 0β„‹)
3230, 31imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴 β†’ Β¬ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β‰  0β„‹))
3314, 32mt4d 117 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) = 𝐴)
3433eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
35 rspe 3237 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
369, 10, 34, 35syl12anc 835 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
3736exp44 436 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))))))
383, 6, 37rexlimd 3254 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))))
392, 38sylbid 239 . . . . 5 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (𝐴 β‰  0β„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))))
4039imp32 417 . . . 4 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (𝐴 β‰  0β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Cβ„‹ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 0β„‹)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
411, 40sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
42 h1da 32215 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ HAtoms)
43 eleq1 2813 . . . . . . 7 (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) ∈ HAtoms))
4442, 43imbitrrid 245 . . . . . 6 (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ π‘₯ β‰  0β„Ž) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms))
4544expdcom 413 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ β‰  0β„Ž β†’ (𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms)))
4645impd 409 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms))
4746rexlimiv 3138 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ HAtoms)
4841, 47impbii 208 . 2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
49 spansn 31425 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{π‘₯}) = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))
5049eqeq2d 2736 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯}) ↔ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
5150anbi2d 628 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})) ↔ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯})))))
5251rexbiia 3082 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (βŠ₯β€˜(βŠ₯β€˜{π‘₯}))))
5348, 52bitr4i 277 1 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3945  {csn 4629  β€˜cfv 6547   β„‹chba 30785  0β„Žc0v 30790   Cβ„‹ cch 30795  βŠ₯cort 30796  spancspn 30798  0β„‹c0h 30801  HAtomscat 30831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30865  ax-hfvadd 30866  ax-hvcom 30867  ax-hvass 30868  ax-hv0cl 30869  ax-hvaddid 30870  ax-hfvmul 30871  ax-hvmulid 30872  ax-hvmulass 30873  ax-hvdistr1 30874  ax-hvdistr2 30875  ax-hvmul0 30876  ax-hfi 30945  ax-his1 30948  ax-his2 30949  ax-his3 30950  ax-his4 30951  ax-hcompl 31068
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22826  df-topon 22843  df-topsp 22865  df-bases 22879  df-cld 22953  df-ntr 22954  df-cls 22955  df-nei 23032  df-cn 23161  df-cnp 23162  df-lm 23163  df-haus 23249  df-tx 23496  df-hmeo 23689  df-fil 23780  df-fm 23872  df-flim 23873  df-flf 23874  df-xms 24256  df-ms 24257  df-tms 24258  df-cfil 25213  df-cau 25214  df-cmet 25215  df-grpo 30359  df-gid 30360  df-ginv 30361  df-gdiv 30362  df-ablo 30411  df-vc 30425  df-nv 30458  df-va 30461  df-ba 30462  df-sm 30463  df-0v 30464  df-vs 30465  df-nmcv 30466  df-ims 30467  df-dip 30567  df-ssp 30588  df-ph 30679  df-cbn 30729  df-hnorm 30834  df-hba 30835  df-hvsub 30837  df-hlim 30838  df-hcau 30839  df-sh 31073  df-ch 31087  df-oc 31118  df-ch0 31119  df-span 31175  df-cv 32145  df-at 32204
This theorem is referenced by:  superpos  32220  chcv1  32221  chjatom  32223
  Copyright terms: Public domain W3C validator