Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem58 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem58 45365
Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem58.k 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem58.0nA (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem58 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58
StepHypRef Expression
1 pire 26310 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
32renegcld 11638 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
43, 2iccssred 13408 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
5 fourierdlem58.ass . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
65sselda 3974 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
74, 6sseldd 3975 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
8 2re 12283 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ ℝ)
107rehalfcld 12456 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1110resincld 16083 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
129, 11remulcld 11241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13 2cnd 12287 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„‚)
147recnd 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
1514halfcld 12454 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
1615sincld 16070 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
17 2ne0 12313 . . . . . . . 8 2 β‰  0
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 2 β‰  0)
19 eqcom 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
2019biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 β†’ 0 = 𝑠)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 = 𝑠)
22 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
2321, 22eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ 𝐴)
2423adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ 𝐴)
25 fourierdlem58.0nA . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐴)
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐴)
2724, 26pm2.65da 814 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
2827neqned 2939 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 β‰  0)
29 fourierdlem44 45352 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
306, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
3113, 16, 18, 30mulne0d 11863 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
327, 12, 31redivcld 12039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
33 fourierdlem58.k . . . . 5 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
3432, 33fmptd 7105 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾:π΄βŸΆβ„)
351a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
3635renegcld 11638 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
3736, 35iccssred 13408 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
385, 37sstrd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
39 dvfre 25805 . . . 4 ((𝐾:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)βŸΆβ„)
4034, 38, 39syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)βŸΆβ„)
41 fourierdlem58.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
42 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠))
43 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
4441, 7, 12, 42, 43offval2 7683 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
4533, 44eqtr4id 2783 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
4645oveq2d 7417 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
47 reelprrecn 11198 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
4847a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
49 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
5014, 49fmptd 7105 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠):π΄βŸΆβ„‚)
5113, 16mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
5231neneqd 2937 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) = 0)
53 elsng 4634 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ β†’ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) = 0))
5412, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) = 0))
5552, 54mtbird 325 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ {0})
5651, 55eldifd 3951 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
57 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
5856, 57fmptd 7105 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))):𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
59 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6059tgioo2 24641 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
6141, 60eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
6248, 61dvmptidg 45118 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1))
63 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
6538, 64sstrd 3984 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
66 1cnd 11206 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
67 ssid 3996 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
6965, 66, 68constcncfg 45073 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
7062, 69eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
7138resmptd 6030 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
7271eqcomd 2730 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ 𝐴))
7372oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ 𝐴)))
74 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
75 2cnd 12287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 2 ∈ β„‚)
76 recn 11196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
7776halfcld 12454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
7877sincld 16070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
7975, 78mulcld 11231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
8074, 79fmpti 7103 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))):β„βŸΆβ„‚
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))):β„βŸΆβ„‚)
82 ssid 3996 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
8459, 60dvres 25762 . . . . . . . . . 10 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΄)))
8564, 81, 83, 38, 84syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΄)))
86 retop 24600 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
88 uniretop 24601 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
8988isopn3 22892 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΄) = 𝐴))
9087, 38, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΄) = 𝐴))
9141, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΄) = 𝐴)
9291reseq2d 5971 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΄)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ 𝐴))
93 resmpt 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
96 2cnd 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
9717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ 2 β‰  0)
9895, 96, 97divrec2d 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (𝑠 / 2) = ((1 / 2) Β· 𝑠))
9998eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) = (𝑠 / 2))
10076, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) = (𝑠 / 2))
101100fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
102101oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
103102mpteq2ia 5241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
10494, 103eqtr2i 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)
105104oveq2i 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ))
106 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
107 halfcn 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) ∈ β„‚
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
109108, 95mulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) ∈ β„‚)
110109sincld 16070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
11196, 110mulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
112106, 111fmpti 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))):β„‚βŸΆβ„‚
113 2cn 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
114 dvasinbx 45121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ β„‚ ∧ (1 / 2) ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
115113, 107, 114mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
116113, 17recidi 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 Β· (1 / 2)) = 1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (1 / 2)) = 1)
11899fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
119117, 118oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (1 Β· (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
120 halfcl 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
121120coscld 16071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
122121mullidd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· (cosβ€˜(𝑠 / 2))) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
123119, 122eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
124123mpteq2ia 5241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
125115, 124eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
126125dmeqi 5894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
127 dmmptg 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘  ∈ β„‚ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚ β†’ dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) = β„‚)
128127, 121mprg 3059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) = β„‚
129126, 128eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = β„‚
13063, 129sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
131 dvres3 25764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))))) β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ))
13247, 112, 67, 130, 131mp4an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ)
133125reseq1i 5967 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) β†Ύ ℝ)
134105, 132, 1333eqtri 2756 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) β†Ύ ℝ)
135134reseq1i 5967 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ 𝐴) = (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) β†Ύ ℝ) β†Ύ 𝐴)
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ 𝐴) = (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) β†Ύ ℝ) β†Ύ 𝐴))
13738resabs1d 6002 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) β†Ύ ℝ) β†Ύ 𝐴) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) β†Ύ 𝐴))
13865resmptd 6030 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) β†Ύ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
139137, 138eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) β†Ύ ℝ) β†Ύ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
14092, 136, 1393eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΄)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
14173, 85, 1403eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
142 coscn 26299 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
143142a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
14465, 68idcncfg 45074 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
145 2cnd 12287 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
14617a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
147 eldifsn 4782 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
148145, 146, 147sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
149 difssd 4124 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
15065, 148, 149constcncfg 45073 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
151144, 150divcncf 25298 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
152143, 151cncfmpt1f 24756 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
153141, 152eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
15448, 50, 58, 70, 153dvdivcncf 45128 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
15546, 154eqeltrd 2825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
156 cncff 24735 . . . . 5 ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ (ℝ D 𝐾):π΄βŸΆβ„‚)
157 fdm 6716 . . . . 5 ((ℝ D 𝐾):π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158155, 156, 1573syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
159158feq2d 6693 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)βŸΆβ„ ↔ (ℝ D 𝐾):π΄βŸΆβ„))
16040, 159mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐾):π΄βŸΆβ„)
161 cncfcdm 24740 . . 3 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) β†’ ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):π΄βŸΆβ„))
16264, 155, 161syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):π΄βŸΆβ„))
163160, 162mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  {csn 4620  {cpr 4622   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘f cof 7661  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  sincsin 16004  cosccos 16005  Ο€cpi 16007   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  β„‚fldccnfld 21228  Topctop 22717  intcnt 22843  β€“cnβ†’ccncf 24718   D cdv 25714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-t1 23140  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  45379
  Copyright terms: Public domain W3C validator