Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem58 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem58 40891
Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem58.k 𝐾 = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem58.0nA (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4 (𝜑𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem58 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58
StepHypRef Expression
1 pire 24424 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → π ∈ ℝ)
32renegcld 10657 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → -π ∈ ℝ)
43, 2iccssred 40241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5 fourierdlem58.ass . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
65sselda 3752 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
74, 6sseldd 3753 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
8 2re 11290 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
107rehalfcld 11479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1110resincld 15072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
129, 11remulcld 10270 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13 2cnd 11293 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
147recnd 10268 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
1514halfcld 11477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
1615sincld 15059 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17 2ne0 11313 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ≠ 0)
19 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
2019biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
2120adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
22 simpl 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 𝑠𝐴)
2321, 22eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
2423adantll 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
25 fourierdlem58.0nA . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
2625ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ 𝐴)
2724, 26pm2.65da 818 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
2827neqned 2950 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
29 fourierdlem44 40878 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
306, 28, 29syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
3113, 16, 18, 30mulne0d 10879 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
327, 12, 31redivcld 11053 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
33 fourierdlem58.k . . . . 5 𝐾 = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
3432, 33fmptd 6525 . . . 4 (𝜑𝐾:𝐴⟶ℝ)
351a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3635renegcld 10657 . . . . . 6 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
3736, 35iccssred 40241 . . . . 5 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
385, 37sstrd 3762 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
39 dvfre 23927 . . . 4 ((𝐾:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
4034, 38, 39syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
41 fourierdlem58.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
42 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠))
43 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
4441, 7, 12, 42, 43offval2 7059 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
4544, 33syl6reqr 2824 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 = ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
4645oveq2d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
47 reelprrecn 10228 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
49 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠)
5014, 49fmptd 6525 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠):𝐴⟶ℂ)
5113, 16mulcld 10260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
5231neneqd 2948 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
53 elsng 4330 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
5412, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
5552, 54mtbird 314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
5651, 55eldifd 3734 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
57 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
5856, 57fmptd 6525 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
59 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6059tgioo2 22819 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6141, 60syl6eleq 2860 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
6248, 61dvmptidg 40642 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ 1))
63 ax-resscn 10193 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6538, 64sstrd 3762 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
66 1cnd 10256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
67 ssid 3773 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
6965, 66, 68constcncfg 40595 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴cn→ℂ))
7062, 69eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴𝑠)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
7138resmptd 5591 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
7271eqcomd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴))
7372oveq2d 6807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)))
74 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
75 2cnd 11293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
76 recn 10226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
7776halfcld 11477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
7877sincld 15059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
7975, 78mulcld 10260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
8074, 79fmpti 6523 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
82 ssid 3773 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
8459, 60dvres 23888 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
8564, 81, 83, 38, 84syl22anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
86 retop 22778 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
88 uniretop 22779 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = (topGen‘ran (,))
8988isopn3 21084 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
9087, 38, 89syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
9141, 90mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
9291reseq2d 5532 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴))
93 resmpt 5588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
96 2cnd 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
9717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
9895, 96, 97divrec2d 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
9998eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
10076, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
101100fveq2d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
102101oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
103102mpteq2ia 4874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
10494, 103eqtr2i 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
105104oveq2i 6802 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
106 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
107 halfcn 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) ∈ ℂ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
109108, 95mulcld 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
110109sincld 15059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
11196, 110mulcld 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
112106, 111fmpti 6523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
113 2cn 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
114 dvasinbx 40646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
115113, 107, 114mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
116113, 17recidi 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · (1 / 2)) = 1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) = 1)
11899fveq2d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
119117, 118oveq12d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘(𝑠 / 2))))
120 halfcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
121120coscld 15060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
122121mulid2d 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → (1 · (cos‘(𝑠 / 2))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
123119, 122eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
124123mpteq2ia 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
125115, 124eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
126125dmeqi 5461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
127 dmmptg 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑠 ∈ ℂ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ)
128127, 121mprg 3075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ
129126, 128eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = ℂ
13063, 129sseqtr4i 3787 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
131 dvres3 23890 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
13247, 112, 67, 130, 131mp4an 673 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
133125reseq1i 5528 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
134105, 132, 1333eqtri 2797 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
135134reseq1i 5528 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴)
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴))
13738resabs1d 5567 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴))
13865resmptd 5591 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
139137, 138eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
14092, 136, 1393eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
14173, 85, 1403eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
142 coscn 24412 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
143142a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14465, 68idcncfg 40596 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠) ∈ (𝐴cn→ℂ))
145 2cnd 11293 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14617a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
147 eldifsn 4453 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
148145, 146, 147sylanbrc 572 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
149 difssd 3889 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
15065, 148, 149constcncfg 40595 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴cn→(ℂ ∖ {0})))
151144, 150divcncf 23428 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
152143, 151cncfmpt1f 22929 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
153141, 152eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
15448, 50, 58, 70, 153dvdivcncf 40653 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
15546, 154eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ))
156 cncff 22909 . . . . 5 ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ)
157 fdm 6189 . . . . 5 ((ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158155, 156, 1573syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
159158feq2d 6169 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
16040, 159mpbid 222 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ)
161 cncffvrn 22914 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
16264, 155, 161syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
163160, 162mpbird 247 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316  {cpr 4318  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  𝑓 cof 7040  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   · cmul 10141  -cneg 10467   / cdiv 10884  2c2 11270  (,)cioo 12373  [,]cicc 12376  sincsin 14993  cosccos 14994  πcpi 14996  t crest 16282  TopOpenctopn 16283  topGenctg 16299  fldccnfld 19954  Topctop 20911  intcnt 21035  cnccncf 22892   D cdv 23840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-t1 21332  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  40905
  Copyright terms: Public domain W3C validator