Theorem fourierdlem58 46735

Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem58.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem58.0nA	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem58	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26516	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → π ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → -π ∈ ℝ)
4	3, 2	iccssred 13438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5		fourierdlem58.ass	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
6	5	sselda 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7	4, 6	sseldd 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
8		2re 12292	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
10	7	rehalfcld 12468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
11	10	resincld 16175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13		2cnd 12296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
14	7	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15	14	halfcld 12466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
16	15	sincld 16162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ≠ 0)
19		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
20	19	bilani 508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
21		simpl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ 𝐴)
22	20, 21	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
24		fourierdlem58.0nA	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
25	24	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ 𝐴)
26	23, 25	pm2.65da 826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
27	26	neqned 2964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
28		fourierdlem44 46722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
29	6, 27, 28	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
30	13, 16, 18, 29	mulne0d 11839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
31	7, 12, 30	redivcld 12019	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
32		fourierdlem58.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
33	31, 32	fmptd 7095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐴⟶ℝ)
34	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
36	35, 34	iccssred 13438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
37	5, 36	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
38		dvfre 26010	. . . 4 ⊢ ((𝐾:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
39	33, 37, 38	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
40		fourierdlem58.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
41		eqidd 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠))
42		eqidd 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
43	40, 7, 12, 41, 42	offval2 7680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
44	32, 43	eqtr4id 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
45	44	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
46		reelprrecn 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
48		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
49	14, 48	fmptd 7095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠):𝐴⟶ℂ)
50	13, 16	mulcld 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
51	30	neneqd 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
52		elsng 4596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
54	51, 53	mtbird 327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
55	50, 54	eldifd 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
56		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
57	55, 56	fmptd 7095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
58		tgioo4 24862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
59	40, 58	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
60	47, 59	dvmptidg 46488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1))
61		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
63	37, 62	sstrd 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
64		1cnd 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
65		ssid 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
66	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
67	63, 64, 66	constcncfg 46443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
68	60, 67	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
69	37	resmptd 6029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
70	69	eqcomd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴))
71	70	oveq2d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)))
72		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
73		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
74		recn 11163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
75	74	halfcld 12466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
76	75	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
77	73, 76	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
78	72, 77	fmpti 7093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
80		ssid 3958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
82		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
83	82, 58	dvres 25970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
84	62, 79, 81, 37, 83	syl22anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
85		retop 24818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
87		uniretop 24819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
88	87	isopn3 23123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
89	86, 37, 88	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
90	40, 89	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
91	90	reseq2d 5965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴))
92		resmpt 6026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
93	61, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
94		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
95		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
96	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
97	94, 95, 96	divrec2d 11971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
98	97	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
99	74, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
100	99	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
101	100	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
102	101	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
103	93, 102	eqtr2i 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
104	103	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
105		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
106		halfcn 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
108	107, 94	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
109	108	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
110	95, 109	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
111	105, 110	fmpti 7093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
112		2cn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
113		dvasinbx 46491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
114	112, 106, 113	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
115	112, 17	recidi 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) = 1)
117	98	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
118	116, 117	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘(𝑠 / 2))))
119		halfcl 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
120	119	coscld 16163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
121	120	mullidd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 · (cos‘(𝑠 / 2))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
122	118, 121	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
123	122	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
124	114, 123	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
125	124	dmeqi 5880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
126		dmmptg 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ)
127	126, 120	mprg 3082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ
128	125, 127	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = ℂ
129	61, 128	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
130		dvres3 25972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
131	46, 111, 65, 129, 130	mp4an 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
132	124	reseq1i 5961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
133	104, 131, 132	3eqtri 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
134	133	reseq1i 5961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴)
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴))
136	37	resabs1d 5994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴))
137	63	resmptd 6029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
138	136, 137	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
139	91, 135, 138	3eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
140	71, 84, 139	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
141		coscn 26505	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
143	63, 66	idcncfg 46444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
144		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
145	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
146		eldifsn 4746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
147	144, 145, 146	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
148		difssd 4090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
149	63, 147, 148	constcncfg 46443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴–cn→(ℂ ∖ {0})))
150	143, 149	divcncf 25506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
151	142, 150	cncfmpt1f 24973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
152	140, 151	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
153	47, 49, 57, 68, 152	dvdivcncf 46498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
154	45, 153	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
155		cncff 24952	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ)
156		fdm 6701	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
157	154, 155, 156	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158	157	feq2d 6675	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
159	39, 158	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ)
160		cncfcdm 24957	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
161	62, 154, 160	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
162	159, 161	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078  -cneg 11415   / cdiv 11844  2c2 12272  (,)cioo 13349  [,]cicc 13352  sincsin 16093  cosccos 16094  πcpi 16096   ↾_t crest 17449  TopOpenctopn 17450  topGenctg 17466  ℂ_fldccnfld 21421  Topctop 22950  intcnt 23074  –cn→ccncf 24935   D cdv 25922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-t1 23371  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  46749