Theorem fourierdlem58 41174

Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem58.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem58.0nA	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem58	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 24609	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → π ∈ ℝ)
3	2	renegcld 10780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → -π ∈ ℝ)
4	3, 2	iccssred 40525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5		fourierdlem58.ass	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
6	5	sselda 3826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7	4, 6	sseldd 3827	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
8		2re 11424	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
10	7	rehalfcld 11604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
11	10	resincld 15244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 10386	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13		2cnd 11428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
14	7	recnd 10384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15	14	halfcld 11602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
16	15	sincld 15231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 11461	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ≠ 0)
19		eqcom 2831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
20	19	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
21	20	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
22		simpl 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ 𝐴)
23	21, 22	eqeltrd 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
24	23	adantll 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
25		fourierdlem58.0nA	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
26	25	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ 𝐴)
27	24, 26	pm2.65da 853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
28	27	neqned 3005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
29		fourierdlem44 41161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
30	6, 28, 29	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
31	13, 16, 18, 30	mulne0d 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
32	7, 12, 31	redivcld 11178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
33		fourierdlem58.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
34	32, 33	fmptd 6632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐴⟶ℝ)
35	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
36	35	renegcld 10780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
37	36, 35	iccssred 40525	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
38	5, 37	sstrd 3836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
39		dvfre 24112	. . . 4 ⊢ ((𝐾:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
40	34, 38, 39	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
41		fourierdlem58.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
42		eqidd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠))
43		eqidd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
44	41, 7, 12, 42, 43	offval2 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
45	44, 33	syl6reqr 2879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
46	45	oveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
47		reelprrecn 10343	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
49		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
50	14, 49	fmptd 6632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠):𝐴⟶ℂ)
51	13, 16	mulcld 10376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
52	31	neneqd 3003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
53		elsng 4410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
54	12, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
55	52, 54	mtbird 317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
56	51, 55	eldifd 3808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
57		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
58	56, 57	fmptd 6632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
59		eqid 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
60	59	tgioo2 22975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
61	41, 60	syl6eleq 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
62	48, 61	dvmptidg 40925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1))
63		ax-resscn 10308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
65	38, 64	sstrd 3836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
66		1cnd 10350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
67		ssid 3847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
69	65, 66, 68	constcncfg 40878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
70	62, 69	eqeltrd 2905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
71	38	resmptd 5688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
72	71	eqcomd 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴))
73	72	oveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)))
74		eqid 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
75		2cnd 11428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
76		recn 10341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
77	76	halfcld 11602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
78	77	sincld 15231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
79	75, 78	mulcld 10376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
80	74, 79	fmpti 6630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
82		ssid 3847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
84	59, 60	dvres 24073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
85	64, 81, 83, 38, 84	syl22anc 874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
86		retop 22934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
88		uniretop 22935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
89	88	isopn3 21240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
90	87, 38, 89	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
91	41, 90	mpbid 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
92	91	reseq2d 5628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴))
93		resmpt 5685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
94	63, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
95		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
96		2cnd 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
97	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
98	95, 96, 97	divrec2d 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
99	98	eqcomd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
100	76, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
101	100	fveq2d 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
102	101	oveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
103	102	mpteq2ia 4962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
104	94, 103	eqtr2i 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
105	104	oveq2i 6915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
106		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
107		halfcn 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
109	108, 95	mulcld 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
110	109	sincld 15231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
111	96, 110	mulcld 10376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
112	106, 111	fmpti 6630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
113		2cn 11425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
114		dvasinbx 40929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
115	113, 107, 114	mp2an 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
116	113, 17	recidi 11081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) = 1)
118	99	fveq2d 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
119	117, 118	oveq12d 6922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘(𝑠 / 2))))
120		halfcl 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
121	120	coscld 15232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
122	121	mulid2d 10374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 · (cos‘(𝑠 / 2))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
123	119, 122	eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
124	123	mpteq2ia 4962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
125	115, 124	eqtri 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
126	125	dmeqi 5556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
127		dmmptg 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ)
128	127, 121	mprg 3134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ
129	126, 128	eqtri 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = ℂ
130	63, 129	sseqtr4i 3862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
131		dvres3 24075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
132	47, 112, 67, 130, 131	mp4an 686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
133	125	reseq1i 5624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
134	105, 132, 133	3eqtri 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
135	134	reseq1i 5624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴)
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴))
137	38	resabs1d 5663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴))
138	65	resmptd 5688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
139	137, 138	eqtrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
140	92, 136, 139	3eqtrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
141	73, 85, 140	3eqtrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
142		coscn 24597	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
143	142	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144	65, 68	idcncfg 40879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
145		2cnd 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
146	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
147		eldifsn 4535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
148	145, 146, 147	sylanbrc 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
149		difssd 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
150	65, 148, 149	constcncfg 40878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴–cn→(ℂ ∖ {0})))
151	144, 150	divcncf 23612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
152	143, 151	cncfmpt1f 23085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
153	141, 152	eqeltrd 2905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
154	48, 50, 58, 70, 153	dvdivcncf 40936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
155	46, 154	eqeltrd 2905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
156		cncff 23065	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ)
157		fdm 6285	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158	155, 156, 157	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
159	158	feq2d 6263	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
160	40, 159	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ)
161		cncffvrn 23070	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
162	64, 155, 161	syl2anc 581	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
163	160, 162	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998   ∖ cdif 3794   ⊆ wss 3797  {csn 4396  {cpr 4398   ↦ cmpt 4951  dom cdm 5341  ran crn 5342   ↾ cres 5343  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ∘_𝑓 cof 7154  ℂcc 10249  ℝcr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   · cmul 10256  -cneg 10585   / cdiv 11008  2c2 11405  (,)cioo 12462  [,]cicc 12465  sincsin 15165  cosccos 15166  πcpi 15168   ↾_t crest 16433  TopOpenctopn 16434  topGenctg 16450  ℂ_fldccnfld 20105  Topctop 21067  intcnt 21191  –cn→ccncf 23048   D cdv 24025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ioc 12467  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-bc 13382  df-hash 13410  df-shft 14183  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-limsup 14578  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-ef 15169  df-sin 15171  df-cos 15172  df-pi 15174  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-lp 21310  df-perf 21311  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-t1 21488  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cncf 23050  df-limc 24028  df-dv 24029

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  41188