Theorem fourierdlem58 47218

Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem58.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ( -π[,]π))
fourierdlem58.0nA	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem58	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26784	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → π ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → -π ∈ ℝ)
4	3, 2	iccssred 13566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ( -π[,]π) ⊆ ℝ)
5		fourierdlem58.ass	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ( -π[,]π))
6	5	sselda 3908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
7	4, 6	sseldd 3909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
8		2re 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
10	7	rehalfcld 12594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
11	10	resincld 16312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11340	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13		2cnd 12422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
14	7	recnd 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15	14	halfcld 12592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
16	15	sincld 16299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ≠ 0)
19		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
20	19	bilani 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
21		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ 𝐴)
22	20, 21	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
24		fourierdlem58.0nA	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ 𝐴)
26	23, 25	pm2.65da 829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
27	26	neqned 2962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
28		fourierdlem44 47205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
29	6, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
30	13, 16, 18, 29	mulne0d 11969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
31	7, 12, 30	redivcld 12146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
32		fourierdlem58.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
33	31, 32	fmptd 7114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐴⟶ℝ)
34	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
36	35, 34	iccssred 13566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -π[,]π) ⊆ ℝ)
37	5, 36	sstrd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
38		dvfre 26272	. . . 4 ⊢ ((𝐾:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
39	33, 37, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
40		fourierdlem58.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
41		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠))
42		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
43	40, 7, 12, 41, 42	offval2 7713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
44	32, 43	eqtr4id 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
45	44	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
46		reelprrecn 11293	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
48		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
49	14, 48	fmptd 7114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠):𝐴⟶ℂ)
50	13, 16	mulcld 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
51	30	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
52		elsng 4597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
53	12, 52	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
54	51, 53	mtbird 328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
55	50, 54	eldifd 4050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
56		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
57	55, 56	fmptd 7114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
58		tgioo4 25125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
59	40, 58	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
60	47, 59	dvmptidg 46971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1))
61		ax-resscn 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
63	37, 62	sstrd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
64		1cnd 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
65		ssid 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
66	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
67	63, 64, 66	constcncfg 46926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
68	60, 67	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
69	37	resmptd 6031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
70	69	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴))
71	70	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)))
72		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
73		2cnd 12422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
74		recn 11291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
75	74	halfcld 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
76	75	sincld 16299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
77	73, 76	mulcld 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
78	72, 77	fmpti 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
80		ssid 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
82		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
83	82, 58	dvres 26232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
84	62, 79, 81, 37, 83	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
85		retop 25081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
87		uniretop 25082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
88	87	isopn3 23385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
89	86, 37, 88	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
90	40, 89	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
91	90	reseq2d 5969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴))
92		resmpt 6028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
93	61, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
94		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
95		2cnd 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
96	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
97	94, 95, 96	divrec2d 12098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
98	97	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
99	74, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
100	99	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
101	100	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
102	101	mpteq2ia 5199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
103	93, 102	eqtr2i 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
104	103	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
105		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
106		halfcn 12561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
108	107, 94	mulcld 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
109	108	sincld 16299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
110	95, 109	mulcld 11330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
111	105, 110	fmpti 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
112		2cn 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
113		dvasinbx 46974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
114	112, 106, 113	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
115		2thalfe1 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) = 1)
117	98	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
118	116, 117	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘(𝑠 / 2))))
119		halfcl 12573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
120	119	coscld 16300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
121	120	mullidd 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 · (cos‘(𝑠 / 2))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
122	118, 121	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
123	122	mpteq2ia 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
124	114, 123	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
125	124	dmeqi 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
126		dmmptg 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ)
127	126, 120	mprg 3082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ
128	125, 127	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = ℂ
129	61, 128	sseqtrri 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
130		dvres3 26234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
131	46, 111, 65, 129, 130	mp4an 706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
132	124	reseq1i 5965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
133	104, 131, 132	3eqtri 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
134	133	reseq1i 5965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴)
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴))
136	37	resabs1d 5998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴))
137	63	resmptd 6031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
138	136, 137	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
139	91, 135, 138	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
140	71, 84, 139	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
141		coscn 26773	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
143	63, 66	idcncfg 46927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
144		2cnd 12422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
145	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
146		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
147	144, 145, 146	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
148		difssd 4073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
149	63, 147, 148	constcncfg 46926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴–cn→(ℂ ∖ {0})))
150	143, 149	divcncf 25769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
151	142, 150	cncfmpt1f 25236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
152	140, 151	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
153	47, 49, 57, 68, 152	dvdivcncf 46981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
154	45, 153	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
155		cncff 25215	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ)
156		fdm 6719	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
157	154, 155, 156	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158	157	feq2d 6693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
159	39, 158	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ)
160		cncfcdm 25220	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
161	62, 154, 160	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
162	159, 161	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   · cmul 11206   -cneg 11543   / cdiv 11974  2c2 12398  (,)cioo 13477  [,]cicc 13480  sincsin 16230  cosccos 16231  πcpi 16233   ↾_t crest 17592  TopOpenctopn 17593  topGenctg 17609  ℂ_fldccnfld 21679  Topctop 23212  intcnt 23336  –cn→ccncf 25198   D cdv 26184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-pi 16239  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-t1 23633  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-limc 26187  df-dv 26188

This theorem is used by:  fourierdlem72  47232