Theorem fourierdlem58 46162

Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem58.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem58.0nA	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem58	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26366	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → π ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → -π ∈ ℝ)
4	3, 2	iccssred 13395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5		fourierdlem58.ass	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
6	5	sselda 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7	4, 6	sseldd 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
8		2re 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
10	7	rehalfcld 12429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
11	10	resincld 16111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11204	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13		2cnd 12264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
14	7	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15	14	halfcld 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
16	15	sincld 16098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ≠ 0)
19		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
22		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ 𝐴)
23	21, 22	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
24	23	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
25		fourierdlem58.0nA	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ 𝐴)
27	24, 26	pm2.65da 816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
28	27	neqned 2932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
29		fourierdlem44 46149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
30	6, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
31	13, 16, 18, 30	mulne0d 11830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
32	7, 12, 31	redivcld 12010	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
33		fourierdlem58.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
34	32, 33	fmptd 7086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐴⟶ℝ)
35	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
36	35	renegcld 11605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
37	36, 35	iccssred 13395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
38	5, 37	sstrd 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
39		dvfre 25855	. . . 4 ⊢ ((𝐾:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
40	34, 38, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
41		fourierdlem58.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
42		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠))
43		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
44	41, 7, 12, 42, 43	offval2 7673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
45	33, 44	eqtr4id 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
46	45	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
47		reelprrecn 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
49		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
50	14, 49	fmptd 7086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠):𝐴⟶ℂ)
51	13, 16	mulcld 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
52	31	neneqd 2930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
53		elsng 4603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
54	12, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
55	52, 54	mtbird 325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
56	51, 55	eldifd 3925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
57		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
58	56, 57	fmptd 7086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
59		tgioo4 24693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
60	41, 59	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
61	48, 60	dvmptidg 45915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1))
62		ax-resscn 11125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
64	38, 63	sstrd 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
65		1cnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
66		ssid 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
68	64, 65, 67	constcncfg 45870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
69	61, 68	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
70	38	resmptd 6011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
71	70	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴))
72	71	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)))
73		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
74		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
75		recn 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
76	75	halfcld 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
77	76	sincld 16098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
78	74, 77	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
79	73, 78	fmpti 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
81		ssid 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
83		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
84	83, 59	dvres 25812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
85	63, 80, 82, 38, 84	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
86		retop 24649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
88		uniretop 24650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
89	88	isopn3 22953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
90	87, 38, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
91	41, 90	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
92	91	reseq2d 5950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴))
93		resmpt 6008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
94	62, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
95		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
96		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
97	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
98	95, 96, 97	divrec2d 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
99	98	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
100	75, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
101	100	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
102	101	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
103	102	mpteq2ia 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
104	94, 103	eqtr2i 2753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
105	104	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
106		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
107		halfcn 12396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
109	108, 95	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
110	109	sincld 16098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
111	96, 110	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
112	106, 111	fmpti 7084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
113		2cn 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
114		dvasinbx 45918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
115	113, 107, 114	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
116	113, 17	recidi 11913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) = 1)
118	99	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
119	117, 118	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘(𝑠 / 2))))
120		halfcl 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
121	120	coscld 16099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
122	121	mullidd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 · (cos‘(𝑠 / 2))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
123	119, 122	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
124	123	mpteq2ia 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
125	115, 124	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
126	125	dmeqi 5868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
127		dmmptg 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ)
128	127, 121	mprg 3050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ
129	126, 128	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = ℂ
130	62, 129	sseqtrri 3996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
131		dvres3 25814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
132	47, 112, 66, 130, 131	mp4an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
133	125	reseq1i 5946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
134	105, 132, 133	3eqtri 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
135	134	reseq1i 5946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴)
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴))
137	38	resabs1d 5979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴))
138	64	resmptd 6011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
139	137, 138	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
140	92, 136, 139	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
141	72, 85, 140	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
142		coscn 26355	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
143	142	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144	64, 67	idcncfg 45871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
145		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
146	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
147		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
148	145, 146, 147	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
149		difssd 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
150	64, 148, 149	constcncfg 45870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴–cn→(ℂ ∖ {0})))
151	144, 150	divcncf 25348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
152	143, 151	cncfmpt1f 24807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
153	141, 152	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
154	48, 50, 58, 69, 153	dvdivcncf 45925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
155	46, 154	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
156		cncff 24786	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ)
157		fdm 6697	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158	155, 156, 157	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
159	158	feq2d 6672	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
160	40, 159	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ)
161		cncfcdm 24791	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
162	63, 155, 161	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
163	160, 162	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  {csn 4589  {cpr 4591   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  -cneg 11406   / cdiv 11835  2c2 12241  (,)cioo 13306  [,]cicc 13309  sincsin 16029  cosccos 16030  πcpi 16032   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  intcnt 22904  –cn→ccncf 24769   D cdv 25764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-t1 23201  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  46176