Theorem fourierdlem58 44395

Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem58.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem58.0nA	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem58	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 25815	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → π ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → -π ∈ ℝ)
4	3, 2	iccssred 13351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5		fourierdlem58.ass	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
6	5	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7	4, 6	sseldd 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
8		2re 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
10	7	rehalfcld 12400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
11	10	resincld 16025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11185	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13		2cnd 12231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
14	7	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
15	14	halfcld 12398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
16	15	sincld 16012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12257	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 2 ≠ 0)
19		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
20	19	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
22		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ 𝐴)
23	21, 22	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
24	23	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
25		fourierdlem58.0nA	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
26	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ 𝐴)
27	24, 26	pm2.65da 815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
28	27	neqned 2950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
29		fourierdlem44 44382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
30	6, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
31	13, 16, 18, 30	mulne0d 11807	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
32	7, 12, 31	redivcld 11983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
33		fourierdlem58.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
34	32, 33	fmptd 7062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐴⟶ℝ)
35	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
36	35	renegcld 11582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
37	36, 35	iccssred 13351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
38	5, 37	sstrd 3954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
39		dvfre 25315	. . . 4 ⊢ ((𝐾:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
40	34, 38, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
41		fourierdlem58.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
42		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠))
43		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
44	41, 7, 12, 42, 43	offval2 7637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
45	33, 44	eqtr4id 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
46	45	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
47		reelprrecn 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
49		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
50	14, 49	fmptd 7062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠):𝐴⟶ℂ)
51	13, 16	mulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
52	31	neneqd 2948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
53		elsng 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
54	12, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
55	52, 54	mtbird 324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
56	51, 55	eldifd 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
57		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
58	56, 57	fmptd 7062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
59		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
60	59	tgioo2 24166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
61	41, 60	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
62	48, 61	dvmptidg 44148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1))
63		ax-resscn 11108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
65	38, 64	sstrd 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
66		1cnd 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
67		ssid 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
69	65, 66, 68	constcncfg 44103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
70	62, 69	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
71	38	resmptd 5994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
72	71	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴))
73	72	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)))
74		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
75		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
76		recn 11141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
77	76	halfcld 12398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
78	77	sincld 16012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
79	75, 78	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
80	74, 79	fmpti 7060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
82		ssid 3966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
84	59, 60	dvres 25275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
85	64, 81, 83, 38, 84	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
86		retop 24125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
88		uniretop 24126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
89	88	isopn3 22417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
90	87, 38, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
91	41, 90	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
92	91	reseq2d 5937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴))
93		resmpt 5991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
94	63, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
95		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
96		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
97	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
98	95, 96, 97	divrec2d 11935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
99	98	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
100	76, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
101	100	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
102	101	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
103	102	mpteq2ia 5208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
104	94, 103	eqtr2i 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
105	104	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
106		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
107		halfcn 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
109	108, 95	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
110	109	sincld 16012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
111	96, 110	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
112	106, 111	fmpti 7060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
113		2cn 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
114		dvasinbx 44151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
115	113, 107, 114	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
116	113, 17	recidi 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) = 1)
118	99	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
119	117, 118	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘(𝑠 / 2))))
120		halfcl 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
121	120	coscld 16013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
122	121	mulid2d 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 · (cos‘(𝑠 / 2))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
123	119, 122	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
124	123	mpteq2ia 5208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
125	115, 124	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
126	125	dmeqi 5860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
127		dmmptg 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ)
128	127, 121	mprg 3070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ
129	126, 128	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = ℂ
130	63, 129	sseqtrri 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
131		dvres3 25277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
132	47, 112, 67, 130, 131	mp4an 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
133	125	reseq1i 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
134	105, 132, 133	3eqtri 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
135	134	reseq1i 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴)
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴))
137	38	resabs1d 5968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴))
138	65	resmptd 5994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
139	137, 138	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
140	92, 136, 139	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
141	73, 85, 140	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
142		coscn 25804	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
143	142	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144	65, 68	idcncfg 44104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
145		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
146	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
147		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
148	145, 146, 147	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
149		difssd 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
150	65, 148, 149	constcncfg 44103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴–cn→(ℂ ∖ {0})))
151	144, 150	divcncf 24811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
152	143, 151	cncfmpt1f 24277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
153	141, 152	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
154	48, 50, 58, 70, 153	dvdivcncf 44158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) ∘f / (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
155	46, 154	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
156		cncff 24256	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ)
157		fdm 6677	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158	155, 156, 157	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
159	158	feq2d 6654	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
160	40, 159	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ)
161		cncfcdm 24261	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
162	64, 155, 161	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
163	160, 162	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴–cn→ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  sincsin 15946  cosccos 15947  πcpi 15949   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ℂ_fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368  –cn→ccncf 24239   D cdv 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  44409