Theorem hash2exprb 13923

Description: A set of size two is an unordered pair if and only if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash2exprb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2exprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2prde 13922	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
2	1	ex 416	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
3		hashprg 13848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
4	3	el2v 3406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
6	5	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
7		fveqeq2 6683	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
8	6, 7	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘𝑉) = 2))
9	8	impcom 411	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (♯‘𝑉) = 2)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (♯‘𝑉) = 2))
11	10	exlimdvv 1941	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (♯‘𝑉) = 2))
12	2, 11	impbid 215	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  Vcvv 3398  {cpr 4518  ‘cfv 6339  2c2 11771  ♯chash 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-hash 13783

This theorem is referenced by:  hash2prb  13924  prprelb  44502