Theorem hash2prde 14379

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prde	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2pr 14378	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		equid 2013	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 = 𝑏
3		vex 3441	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		vex 3441	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	3, 4	preqsn 4813	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏))
6		eqeq2 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑏}))
8		hashsng 14278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ V → (♯‘{𝑏}) = 1)
9	8	elv 3442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘{𝑏}) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = 1)
11		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12		1ne2 12335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
13		df-ne 2930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
15	13, 14	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏)
17	16	eqcoms 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏)
18	11, 17	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
20	10, 19	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏))
21	6, 20	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏)))
22	21	impcomd 411	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
23	5, 22	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
24	2, 23	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
25		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
26	24, 25	pm2.61ine 3012	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
28	26, 27	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
29	28	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
30	29	2eximdv 1920	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
31	1, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437  {csn 4575  {cpr 4577  ‘cfv 6486  1c1 11014  2c2 12187  ♯chash 14239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240

This theorem is referenced by:  hash2exprb  14380  umgredg  29118  frgrregord013  30377