Theorem hash2prde 14253

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prde	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2pr 14252	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		equid 2014	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 = 𝑏
3		vex 3445	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		vex 3445	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	3, 4	preqsn 4802	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏))
6		eqeq2 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7		fveq2 6809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑏}))
8		hashsng 14153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ V → (♯‘{𝑏}) = 1)
9	8	elv 3447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘{𝑏}) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = 1)
11		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12		1ne2 12251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
13		df-ne 2942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
15	13, 14	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏)
17	16	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏)
18	11, 17	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
20	10, 19	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏))
21	6, 20	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏)))
22	21	impcomd 412	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
23	5, 22	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
24	2, 23	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
25		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
26	24, 25	pm2.61ine 3026	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
27		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
28	26, 27	jca 512	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
29	28	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
30	29	2eximdv 1921	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
31	1, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  Vcvv 3441  {csn 4569  {cpr 4571  ‘cfv 6463  1c1 10942  2c2 12098  ♯chash 14114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-2o 8343  df-oadd 8346  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-dju 9727  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-hash 14115

This theorem is referenced by:  hash2exprb  14254  umgredg  27616  frgrregord013  28867