Theorem hash2prde 14505

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prde	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2pr 14504	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		equid 2008	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 = 𝑏
3		vex 3481	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		vex 3481	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	3, 4	preqsn 4866	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏))
6		eqeq2 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑏}))
8		hashsng 14404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ V → (♯‘{𝑏}) = 1)
9	8	elv 3482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘{𝑏}) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = 1)
11		eqeq1 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12		1ne2 12471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
13		df-ne 2938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
15	13, 14	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏)
17	16	eqcoms 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏)
18	11, 17	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
20	10, 19	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏))
21	6, 20	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏)))
22	21	impcomd 411	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
23	5, 22	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
24	2, 23	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
25		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
26	24, 25	pm2.61ine 3022	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
28	26, 27	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
29	28	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
30	29	2eximdv 1916	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
31	1, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  Vcvv 3477  {csn 4630  {cpr 4632  ‘cfv 6562  1c1 11153  2c2 12318  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  hash2exprb  14506  umgredg  29169  frgrregord013  30423