MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prde Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prde 14509
Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2prde ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde
StepHypRef Expression
1 hash2pr 14508 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2 equid 2011 . . . . . . 7 𝑏 = 𝑏
3 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
4 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
53, 4preqsn 4862 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏))
6 eqeq2 2749 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑏}))
8 hashsng 14408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ V → (♯‘{𝑏}) = 1)
98elv 3485 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘{𝑏}) = 1
107, 9eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = 1)
11 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12 1ne2 12474 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
13 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1513, 14sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = 2 → 𝑎𝑏)
1716eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 1 → 𝑎𝑏)
1811, 17biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
2010, 19syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏))
216, 20biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏)))
2221impcomd 411 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
235, 22sylbir 235 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏) → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
242, 23mpan2 691 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
25 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑎𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
2624, 25pm2.61ine 3025 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
27 simpr 484 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2826, 27jca 511 . . . 4 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
2928ex 412 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
30292eximdv 1919 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
311, 30mpd 15 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  1c1 11156  2c2 12321  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  hash2exprb  14510  umgredg  29155  frgrregord013  30414
  Copyright terms: Public domain W3C validator