MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prde Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prde 13454
Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2prde ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde
StepHypRef Expression
1 hash2pr 13453 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2 equid 2097 . . . . . . 7 𝑏 = 𝑏
3 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
4 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
53, 4preqsn 4527 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏))
6 eqeq2 2782 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑏}))
8 hashsng 13361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ V → (♯‘{𝑏}) = 1)
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{𝑏}) = 1
107, 9syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = 1)
11 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12 1ne2 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
13 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14 pm2.21 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1513, 14sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 = 2 → 𝑎𝑏)
1716eqcoms 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 = 1 → 𝑎𝑏)
1811, 17syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
1918adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
2010, 19syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏))
216, 20syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏)))
2221com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → 𝑎𝑏)))
2322imp 393 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → 𝑎𝑏))
2423com12 32 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
255, 24sylbir 225 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏) → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
262, 25mpan2 671 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
27 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑎𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
2826, 27pm2.61ine 3026 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
29 simpr 471 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
3028, 29jca 501 . . . 4 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
3130ex 397 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
32312eximdv 2000 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
331, 32mpd 15 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  {csn 4316  {cpr 4318  cfv 6031  1c1 10139  2c2 11272  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  hash2exprb  13455  umgredg  26255  frgrregord013  27594
  Copyright terms: Public domain W3C validator