Theorem hash2prde 14001

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prde	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2pr 14000	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		equid 2022	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 = 𝑏
3		vex 3402	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		vex 3402	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	3, 4	preqsn 4758	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏))
6		eqeq2 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7		fveq2 6695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑏}))
8		hashsng 13901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ V → (♯‘{𝑏}) = 1)
9	8	elv 3404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘{𝑏}) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = 1)
11		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12		1ne2 12003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
13		df-ne 2933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
15	13, 14	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏)
17	16	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏)
18	11, 17	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
19	18	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
20	10, 19	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏))
21	6, 20	syl6bi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏)))
22	21	impcomd 415	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
23	5, 22	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
24	2, 23	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
25		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
26	24, 25	pm2.61ine 3015	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
27		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
28	26, 27	jca 515	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
29	28	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
30	29	2eximdv 1927	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
31	1, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  Vcvv 3398  {csn 4527  {cpr 4529  ‘cfv 6358  1c1 10695  2c2 11850  ♯chash 13861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-oadd 8184  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-dju 9482  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-hash 13862

This theorem is referenced by:  hash2exprb  14002  umgredg  27183  frgrregord013  28432