Theorem hash2prb 14397

Description: A set of size two is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2exprb 14396	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
2		vex 3442	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
3	2	prid1 4716	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}
4		vex 3442	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	4	prid2 4717	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}
6	3, 5	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})
7		eleq2 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ 𝑉 ↔ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}))
8		eleq2 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑏 ∈ 𝑉 ↔ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}))
9	7, 8	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})))
10	6, 9	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
12	11	pm4.71ri 560	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
13	12	2exbii 1849	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))))
15		r2ex 3166	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
16	15	bicomi 224	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
18	1, 14, 17	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {cpr 4581  ‘cfv 6486  2c2 12201  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  hash2prd  14400  elss2prb  14413  nbgr2vtx1edg  29313  nbuhgr2vtx1edgb  29315  prpair  47486  requad2  47608