Theorem hash2prb 14475

Description: A set of size two is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2exprb 14474	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
2		vex 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
3	2	prid1 4771	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}
4		vex 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	4	prid2 4772	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}
6	3, 5	pm3.2i 469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})
7		eleq2 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ 𝑉 ↔ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}))
8		eleq2 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑏 ∈ 𝑉 ↔ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}))
9	7, 8	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})))
10	6, 9	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
11	10	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
12	11	pm4.71ri 559	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
13	12	2exbii 1843	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))))
15		r2ex 3193	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
16	15	bicomi 223	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
18	1, 14, 17	3bitrd 304	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  {cpr 4634  ‘cfv 6553  2c2 12307  ♯chash 14331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-hash 14332

This theorem is referenced by:  hash2prd  14478  elss2prb  14490  nbgr2vtx1edg  29191  nbuhgr2vtx1edgb  29193  prpair  46888  requad2  47010