MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prb 14507
Description: A set of size two is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
hash2prb (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prb
StepHypRef Expression
1 hash2exprb 14506 . 2 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
2 vex 3481 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
32prid1 4766 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}
4 vex 3481 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
54prid2 4767 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}
63, 5pm3.2i 470 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})
7 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}))
8 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑏𝑉𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}))
97, 8anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})))
106, 9mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
1211pm4.71ri 560 . . . 4 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
13122exbii 1845 . . 3 (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
1413a1i 11 . 2 (𝑉𝑊 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))))
15 r2ex 3193 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
1615bicomi 224 . . 3 (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
1716a1i 11 . 2 (𝑉𝑊 → (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
181, 14, 173bitrd 305 1 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  {cpr 4632  cfv 6562  2c2 12318  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  hash2prd  14510  elss2prb  14523  nbgr2vtx1edg  29381  nbuhgr2vtx1edgb  29383  prpair  47425  requad2  47547
  Copyright terms: Public domain W3C validator