MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prb 13499
Description: A set of size two is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
hash2prb (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prb
StepHypRef Expression
1 hash2exprb 13498 . 2 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
2 vex 3386 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
32prid1 4484 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}
4 vex 3386 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
54prid2 4485 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}
63, 5pm3.2i 463 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})
7 eleq2 2865 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}))
8 eleq2 2865 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑏𝑉𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}))
97, 8anbi12d 625 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})))
106, 9mpbiri 250 . . . . . 6 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
1110adantl 474 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
1211pm4.71ri 557 . . . 4 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
13122exbii 1945 . . 3 (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
1413a1i 11 . 2 (𝑉𝑊 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))))
15 r2ex 3240 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
1615bicomi 216 . . 3 (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
1716a1i 11 . 2 (𝑉𝑊 → (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
181, 14, 173bitrd 297 1 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wne 2969  wrex 3088  {cpr 4368  cfv 6099  2c2 11364  chash 13366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-hash 13367
This theorem is referenced by:  hash2prd  13502  elss2prb  13514  nbgr2vtx1edg  26580  nbuhgr2vtx1edgb  26582
  Copyright terms: Public domain W3C validator