Theorem hash2prd 14600

Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prd	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem hash2prd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2prb 14597	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
2		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑥, 𝑦})
3		3simpa 1166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃))
4	3	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃))
5		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦}))
6		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
7	5, 6	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
8	7	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
9	4, 8	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
10		prel12g 4824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
11	10	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
12	9, 11	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → {𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦})
13	2, 12	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
14	13	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
15	14	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
16	15	expimpd 459	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
17	16	rexlimivv 3205	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
18	1, 17	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
19	18	imp 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {cpr 4586  ‘cfv 6531  2c2 12378  ♯chash 14454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455

This theorem is used by:  symg2bas  19587  drngidlhash  33965