MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prd 14370
Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
hash2prd ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem hash2prd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash2prb 14367 . . 3 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
2 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑥, 𝑦})
3 3simpa 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
43ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
5 eleq2 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦}))
6 eleq2 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑌𝑃𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
75, 6anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
87adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
94, 8mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
10 prel12g 4813 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
1110ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
129, 11mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → {𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦})
132, 12eqtr4d 2767 . . . . . . 7 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
1413exp31 419 . . . . . 6 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1514com23 86 . . . . 5 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1615expimpd 453 . . . 4 ((𝑥𝑃𝑦𝑃) → ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1716rexlimivv 3171 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
181, 17biimtrdi 253 . 2 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1918imp 406 1 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2109  wne 2925  wrex 3053  {cpr 4575  cfv 6476  2c2 12171  chash 14225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-hash 14226
This theorem is referenced by:  symg2bas  19259  drngidlhash  33367
  Copyright terms: Public domain W3C validator