MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prd 14374
Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
hash2prd ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem hash2prd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash2prb 14371 . . 3 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
2 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑥, 𝑦})
3 3simpa 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
43ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
5 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦}))
6 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑌𝑃𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
75, 6anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
87adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
94, 8mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
10 prel12g 4821 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
1110ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
129, 11mpbird 256 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → {𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦})
132, 12eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
1413exp31 420 . . . . . 6 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1514com23 86 . . . . 5 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1615expimpd 454 . . . 4 ((𝑥𝑃𝑦𝑃) → ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1716rexlimivv 3196 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
181, 17syl6bi 252 . 2 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1918imp 407 1 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {cpr 4588  cfv 6496  2c2 12208  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  symg2bas  19174
  Copyright terms: Public domain W3C validator