MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prd 14511
Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
hash2prd ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem hash2prd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash2prb 14508 . . 3 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
2 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑥, 𝑦})
3 3simpa 1147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
43ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
5 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦}))
6 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑌𝑃𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
75, 6anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
87adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
94, 8mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
10 prel12g 4869 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
1110ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
129, 11mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → {𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦})
132, 12eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
1413exp31 419 . . . . . 6 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1514com23 86 . . . . 5 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1615expimpd 453 . . . 4 ((𝑥𝑃𝑦𝑃) → ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1716rexlimivv 3199 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
181, 17biimtrdi 253 . 2 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1918imp 406 1 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {cpr 4633  cfv 6563  2c2 12319  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  symg2bas  19425  drngidlhash  33442
  Copyright terms: Public domain W3C validator