Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prd 13829
 Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
hash2prd ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem hash2prd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash2prb 13826 . . 3 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
2 simpr 488 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑥, 𝑦})
3 3simpa 1145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
43ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
5 eleq2 2902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦}))
6 eleq2 2902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑌𝑃𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
75, 6anbi12d 633 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
87adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
94, 8mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
10 prel12g 4767 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
129, 11mpbird 260 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → {𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦})
132, 12eqtr4d 2860 . . . . . . 7 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
1413exp31 423 . . . . . 6 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1514com23 86 . . . . 5 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1615expimpd 457 . . . 4 ((𝑥𝑃𝑦𝑃) → ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1716rexlimivv 3278 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
181, 17syl6bi 256 . 2 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
1918imp 410 1 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∃wrex 3131  {cpr 4541  ‘cfv 6334  2c2 11680  ♯chash 13686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687 This theorem is referenced by:  symg2bas  18512
 Copyright terms: Public domain W3C validator