Theorem hash2prd 14117

Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prd	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem hash2prd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2prb 14114	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑥, 𝑦})
3		3simpa 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃))
4	3	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃))
5		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦}))
6		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
7	5, 6	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
9	4, 8	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
10		prel12g 4791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
11	10	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
12	9, 11	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → {𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦})
13	2, 12	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
14	13	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
15	14	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
16	15	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
17	16	rexlimivv 3220	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
18	1, 17	syl6bi 252	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {cpr 4560  ‘cfv 6418  2c2 11958  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  symg2bas  18915