Theorem hash2prd 14524

Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prd	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem hash2prd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2prb 14521	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑥, 𝑦})
3		3simpa 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃))
4	3	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃))
5		eleq2 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦}))
6		eleq2 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
7	5, 6	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
9	4, 8	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
10		prel12g 4888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
11	10	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
12	9, 11	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → {𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦})
13	2, 12	eqtr4d 2783	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
14	13	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
15	14	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
16	15	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
17	16	rexlimivv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
18	1, 17	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {cpr 4650  ‘cfv 6573  2c2 12348  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  symg2bas  19434  drngidlhash  33427