MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pwpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2pwpr 14470
Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash2pwpr (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr
StepHypRef Expression
1 pwpr 4902 . . . . 5 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
21eleq2i 2821 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3 elun 4147 . . . 4 (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
42, 3bitri 275 . . 3 (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = (♯‘∅))
6 hash0 14359 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
76eqeq2i 2741 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝑃) = 0)
8 eqeq1 2732 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9 0ne2 12450 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
10 eqneqall 2948 . . . . . . . . . 10 (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
119, 10mpi 20 . . . . . . . . 9 (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
128, 11biimtrdi 252 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
137, 12sylbi 216 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
145, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15 hashsng 14361 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (♯‘{𝑋}) = 1)
16 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 ({𝑋} = 𝑃 → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
1716eqcoms 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑋} → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
1817eqeq1d 2730 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
19 eqeq1 2732 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20 1ne2 12451 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
21 eqneqall 2948 . . . . . . . . . . 11 (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
2220, 21mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
2319, 22biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
2418, 23biimtrdi 252 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
2515, 24syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26 snprc 4722 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27 eqeq2 2740 . . . . . . . . 9 ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
285, 6eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = 0)
2928eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
3029, 11biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
3127, 30biimtrdi 252 . . . . . . . 8 ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
3226, 31sylbi 216 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
3325, 32pm2.61i 182 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
3414, 33jaoi 856 . . . . 5 ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35 hashsng 14361 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (♯‘{𝑌}) = 1)
36 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 ({𝑌} = 𝑃 → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
3736eqcoms 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑌} → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
3837eqeq1d 2730 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
3938, 23biimtrdi 252 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4035, 39syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41 snprc 4722 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42 eqeq2 2740 . . . . . . . . 9 ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
435eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ (♯‘∅) = 2))
446eqeq1i 2733 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
4544, 11sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((♯‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
4643, 45biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
4742, 46biimtrdi 252 . . . . . . . 8 ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4841, 47sylbi 216 . . . . . . 7 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4940, 48pm2.61i 182 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5149, 50jaoi 856 . . . . 5 ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5234, 51jaoi 856 . . . 4 (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53 elpri 4651 . . . . 5 (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54 elpri 4651 . . . . 5 (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5553, 54orim12i 907 . . . 4 ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
5652, 55syl11 33 . . 3 ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
574, 56biimtrid 241 . 2 ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5857imp 406 1 (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  Vcvv 3471  cun 3945  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  cfv 6548  0cc0 11139  1c1 11140  2c2 12298  chash 14322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323
This theorem is referenced by:  pr2pwpr  14473
  Copyright terms: Public domain W3C validator