Theorem hash2pwpr 14442

Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pwpr	⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwpr 4903	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
2	1	eleq2i 2824	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3		elun 4149	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
4	2, 3	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = (♯‘∅))
6		hash0 14332	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqeq2i 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝑃) = 0)
8		eqeq1 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9		0ne2 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
10		eqneqall 2950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
11	9, 10	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
12	8, 11	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
13	7, 12	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
14	5, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15		hashsng 14334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (♯‘{𝑋}) = 1)
16		fveq2 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑋} = 𝑃 → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
17	16	eqcoms 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
18	17	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
19		eqeq1 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20		1ne2 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
21		eqneqall 2950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
22	20, 21	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
23	19, 22	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
24	18, 23	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
25	15, 24	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26		snprc 4722	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27		eqeq2 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
28	5, 6	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = 0)
29	28	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
30	29, 11	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
31	27, 30	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
32	26, 31	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
33	25, 32	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
34	14, 33	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35		hashsng 14334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (♯‘{𝑌}) = 1)
36		fveq2 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑌} = 𝑃 → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
37	36	eqcoms 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
38	37	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
39	38, 23	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
40	35, 39	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41		snprc 4722	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42		eqeq2 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
43	5	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ (♯‘∅) = 2))
44	6	eqeq1i 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
45	44, 11	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
46	43, 45	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
47	42, 46	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
48	41, 47	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
49	40, 48	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
51	49, 50	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
52	34, 51	jaoi 854	. . . 4 ⊢ (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53		elpri 4651	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54		elpri 4651	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
55	53, 54	orim12i 906	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
56	52, 55	syl11 33	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
57	4, 56	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
58	57	imp 406	1 ⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473   ∪ cun 3947  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  ‘cfv 6544  0cc0 11113  1c1 11114  2c2 12272  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  pr2pwpr  14445