Theorem hash2pwpr 14190

Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pwpr	⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwpr 4833	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
2	1	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3		elun 4083	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
4	2, 3	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = (♯‘∅))
6		hash0 14082	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqeq2i 2751	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝑃) = 0)
8		eqeq1 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9		0ne2 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
10		eqneqall 2954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
11	9, 10	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
12	8, 11	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
13	7, 12	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
14	5, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15		hashsng 14084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (♯‘{𝑋}) = 1)
16		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑋} = 𝑃 → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
17	16	eqcoms 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
18	17	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
19		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20		1ne2 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
21		eqneqall 2954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
22	20, 21	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
23	19, 22	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
24	18, 23	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
25	15, 24	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26		snprc 4653	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27		eqeq2 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
28	5, 6	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = 0)
29	28	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
30	29, 11	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
31	27, 30	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
32	26, 31	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
33	25, 32	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
34	14, 33	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35		hashsng 14084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (♯‘{𝑌}) = 1)
36		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑌} = 𝑃 → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
37	36	eqcoms 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
38	37	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
39	38, 23	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
40	35, 39	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41		snprc 4653	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42		eqeq2 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
43	5	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ (♯‘∅) = 2))
44	6	eqeq1i 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
45	44, 11	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
46	43, 45	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
47	42, 46	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
48	41, 47	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
49	40, 48	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
51	49, 50	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
52	34, 51	jaoi 854	. . . 4 ⊢ (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53		elpri 4583	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54		elpri 4583	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
55	53, 54	orim12i 906	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
56	52, 55	syl11 33	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
57	4, 56	syl5bi 241	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
58	57	imp 407	1 ⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∪ cun 3885  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  {cpr 4563  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872  2c2 12028  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  pr2pwpr  14193