Theorem hash2pwpr 14383

Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pwpr	⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwpr 4850	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
2	1	eleq2i 2823	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3		elun 4100	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = (♯‘∅))
6		hash0 14274	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqeq2i 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝑃) = 0)
8		eqeq1 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9		0ne2 12327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
10		eqneqall 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
11	9, 10	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
12	8, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
13	7, 12	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
14	5, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15		hashsng 14276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (♯‘{𝑋}) = 1)
16		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑋} = 𝑃 → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
17	16	eqcoms 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
18	17	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
19		eqeq1 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20		1ne2 12328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
21		eqneqall 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
22	20, 21	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
23	19, 22	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
24	18, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
25	15, 24	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26		snprc 4667	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27		eqeq2 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
28	5, 6	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = 0)
29	28	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
30	29, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
31	27, 30	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
32	26, 31	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
33	25, 32	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
34	14, 33	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35		hashsng 14276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (♯‘{𝑌}) = 1)
36		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑌} = 𝑃 → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
37	36	eqcoms 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
38	37	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
39	38, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
40	35, 39	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41		snprc 4667	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42		eqeq2 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
43	5	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ (♯‘∅) = 2))
44	6	eqeq1i 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
45	44, 11	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
46	43, 45	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
47	42, 46	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
48	41, 47	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
49	40, 48	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
51	49, 50	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
52	34, 51	jaoi 857	. . . 4 ⊢ (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53		elpri 4597	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54		elpri 4597	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
55	53, 54	orim12i 908	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
56	52, 55	syl11 33	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
57	4, 56	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
58	57	imp 406	1 ⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  {cpr 4575  ‘cfv 6481  0cc0 11006  1c1 11007  2c2 12180  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  pr2pwpr  14386