Theorem hash2pwpr 14118

Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pwpr	⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwpr 4830	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
2	1	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3		elun 4079	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
4	2, 3	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = (♯‘∅))
6		hash0 14010	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqeq2i 2751	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝑃) = 0)
8		eqeq1 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9		0ne2 12110	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
10		eqneqall 2953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
11	9, 10	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
12	8, 11	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
13	7, 12	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
14	5, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15		hashsng 14012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (♯‘{𝑋}) = 1)
16		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑋} = 𝑃 → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
17	16	eqcoms 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
18	17	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
19		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20		1ne2 12111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
21		eqneqall 2953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
22	20, 21	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
23	19, 22	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
24	18, 23	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
25	15, 24	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26		snprc 4650	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27		eqeq2 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
28	5, 6	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = 0)
29	28	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
30	29, 11	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
31	27, 30	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
32	26, 31	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
33	25, 32	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
34	14, 33	jaoi 853	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35		hashsng 14012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (♯‘{𝑌}) = 1)
36		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑌} = 𝑃 → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
37	36	eqcoms 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
38	37	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
39	38, 23	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
40	35, 39	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41		snprc 4650	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42		eqeq2 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
43	5	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ (♯‘∅) = 2))
44	6	eqeq1i 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
45	44, 11	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
46	43, 45	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
47	42, 46	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
48	41, 47	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
49	40, 48	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
51	49, 50	jaoi 853	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
52	34, 51	jaoi 853	. . . 4 ⊢ (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53		elpri 4580	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54		elpri 4580	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
55	53, 54	orim12i 905	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
56	52, 55	syl11 33	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
57	4, 56	syl5bi 241	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
58	57	imp 406	1 ⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803  2c2 11958  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  pr2pwpr  14121