MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pwpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2pwpr 13572
Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash2pwpr (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr
StepHypRef Expression
1 pwpr 4665 . . . . 5 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
21eleq2i 2850 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3 elun 3975 . . . 4 (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
42, 3bitri 267 . . 3 (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = (♯‘∅))
6 hash0 13473 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
76eqeq2i 2789 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝑃) = 0)
8 eqeq1 2781 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9 0ne2 11589 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
10 eqneqall 2979 . . . . . . . . . 10 (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
119, 10mpi 20 . . . . . . . . 9 (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
128, 11syl6bi 245 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
137, 12sylbi 209 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
145, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15 hashsng 13474 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (♯‘{𝑋}) = 1)
16 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 ({𝑋} = 𝑃 → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
1716eqcoms 2785 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑋} → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
1817eqeq1d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
19 eqeq1 2781 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20 1ne2 11590 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
21 eqneqall 2979 . . . . . . . . . . 11 (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
2220, 21mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
2319, 22syl6bi 245 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
2418, 23syl6bi 245 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
2515, 24syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26 snprc 4483 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27 eqeq2 2788 . . . . . . . . 9 ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
285, 6syl6eq 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = 0)
2928eqeq1d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
3029, 11syl6bi 245 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
3127, 30syl6bi 245 . . . . . . . 8 ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
3226, 31sylbi 209 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
3325, 32pm2.61i 177 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
3414, 33jaoi 846 . . . . 5 ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35 hashsng 13474 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (♯‘{𝑌}) = 1)
36 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 ({𝑌} = 𝑃 → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
3736eqcoms 2785 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑌} → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
3837eqeq1d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
3938, 23syl6bi 245 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4035, 39syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41 snprc 4483 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42 eqeq2 2788 . . . . . . . . 9 ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
435eqeq1d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ (♯‘∅) = 2))
446eqeq1i 2782 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
4544, 11sylbi 209 . . . . . . . . . 10 ((♯‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
4643, 45syl6bi 245 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
4742, 46syl6bi 245 . . . . . . . 8 ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4841, 47sylbi 209 . . . . . . 7 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4940, 48pm2.61i 177 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5149, 50jaoi 846 . . . . 5 ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5234, 51jaoi 846 . . . 4 (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53 elpri 4419 . . . . 5 (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54 elpri 4419 . . . . 5 (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5553, 54orim12i 895 . . . 4 ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
5652, 55syl11 33 . . 3 ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
574, 56syl5bi 234 . 2 ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5857imp 397 1 (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  Vcvv 3397  cun 3789  c0 4140  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  {cpr 4399  cfv 6135  0cc0 10272  1c1 10273  2c2 11430  chash 13435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436
This theorem is referenced by:  pr2pwpr  13575
  Copyright terms: Public domain W3C validator