Theorem hash2pwpr 14411

Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pwpr	⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwpr 4859	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
2	1	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3		elun 4107	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = (♯‘∅))
6		hash0 14302	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqeq2i 2750	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝑃) = 0)
8		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9		0ne2 12359	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
10		eqneqall 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
11	9, 10	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
12	8, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
13	7, 12	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = (♯‘∅) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
14	5, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15		hashsng 14304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (♯‘{𝑋}) = 1)
16		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑋} = 𝑃 → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
17	16	eqcoms 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → (♯‘{𝑋}) = (♯‘𝑃))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
19		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20		1ne2 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
21		eqneqall 2944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
22	20, 21	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
23	19, 22	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
24	18, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘{𝑋}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
25	15, 24	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26		snprc 4676	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27		eqeq2 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
28	5, 6	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = ∅ → (♯‘𝑃) = 0)
29	28	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
30	29, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
31	27, 30	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
32	26, 31	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
33	25, 32	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
34	14, 33	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35		hashsng 14304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (♯‘{𝑌}) = 1)
36		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑌} = 𝑃 → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
37	36	eqcoms 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → (♯‘{𝑌}) = (♯‘𝑃))
38	37	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 ↔ (♯‘𝑃) = 1))
39	38, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘{𝑌}) = 1 → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
40	35, 39	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41		snprc 4676	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42		eqeq2 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
43	5	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ (♯‘∅) = 2))
44	6	eqeq1i 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
45	44, 11	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
46	43, 45	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
47	42, 46	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
48	41, 47	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
49	40, 48	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
51	49, 50	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
52	34, 51	jaoi 858	. . . 4 ⊢ (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((♯‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53		elpri 4606	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54		elpri 4606	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
55	53, 54	orim12i 909	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
56	52, 55	syl11 33	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
57	4, 56	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
58	57	imp 406	1 ⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∪ cun 3901  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6500  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12212  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  pr2pwpr  14414