Theorem nehash2 14599

Description: The cardinality of a set with two distinct elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nehash2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
nehash2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
nehash2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
nehash2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nehash2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Proof of Theorem nehash2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nehash2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		nehash2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		nehash2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
4		hashprg 14519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
6	1, 5	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
7		nehash2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
8	2, 3	prssd 4783	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑃)
9		hashss 14533	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑃) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ (♯‘𝑃))
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ (♯‘𝑃))
11	6, 10	eqbrtrrd 5129	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531   ≤ cle 11325  2c2 12378  ♯chash 14454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455

This theorem is used by:  fun2dmnop0  14629  dchrisum0re  27822  hlcgrex  29064  hlcgreulem  29065  tglnpt3  29104  midexlem  29146  plngrotlem3  29249  prlngmolem1  29412  1hegrvtxdg1  30070  1hegrlfgr  49174