Theorem nehash2 14186

Description: The cardinality of a set with two distinct elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nehash2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
nehash2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
nehash2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
nehash2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nehash2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Proof of Theorem nehash2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nehash2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		nehash2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		nehash2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
4		hashprg 14108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
6	1, 5	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
7		nehash2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
8	2, 3	prssd 4761	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑃)
9		hashss 14122	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑃) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ (♯‘𝑃))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ (♯‘𝑃))
11	6, 10	eqbrtrrd 5103	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   ⊆ wss 3892  {cpr 4569   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432   ≤ cle 11011  2c2 12028  ♯chash 14042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-hash 14043

This theorem is referenced by:  fun2dmnop0  14206  dchrisum0re  26659  hlcgrex  26975  hlcgreulem  26976  midexlem  27051  1hegrvtxdg1  27872  1hegrlfgr  45263