Theorem cusgrsize2inds 29542

Description: Induction step in cusgrsize 29543. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
cusgrsize2inds	⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrsizeindb0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6846	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hashnn0n0nn 14342	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
4	3	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
5		simplll 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
6		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ 𝑉)
7		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 = (♯‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
8	7	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
9		nnm1nn0 12467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
11	10	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
12	11	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
13		nncn 12171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
14		1cnd 11128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
15	13, 14	npcand 11498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
16	15	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
17	8, 16	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
18	17	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
19	18	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
20		hashdifsnp1 14457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1)))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
22	5, 6, 12, 19, 21	syl31anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
23		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((♯‘𝑉) − 1)C2))
24	23	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
25	8	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
26		nnnn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
27		hashclb 14309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
28	26, 27	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
29		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
30		cusgrsizeinds.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
31	1, 29, 30	cusgrsizeinds 29541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
32		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
33	32	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
35		bcn2m1 14275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) = ((♯‘𝑉)C2))
36	35	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
37	36	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
39	34, 38	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
40	39	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
41	40	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
42	31, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
43	42	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
44	43	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
45	28, 44	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
46	45	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
48	47	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
49	25, 48	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
51	50	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
52	24, 51	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
53	52	com24 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
54	22, 53	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
55	54	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
56	55	adantllr 720	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
57	4, 56	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
58	57	exp41 434	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
59	58	com25 99	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
60	2, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
61	60	3imp 1111	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
62	61	com12 32	1 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  1c1 11028   + caddc 11030   − cmin 11366  ℕcn 12163  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  Ccbc 14253  ♯chash 14281  Vtxcvtx 29084  Edgcedg 29135  ComplUSGraphccusgr 29498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-seq 13953  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-vtx 29086  df-iedg 29087  df-edg 29136  df-uhgr 29146  df-upgr 29170  df-umgr 29171  df-uspgr 29238  df-usgr 29239  df-fusgr 29405  df-nbgr 29421  df-uvtx 29474  df-cplgr 29499  df-cusgr 29500

This theorem is referenced by:  cusgrsize  29543