Theorem cusgrsize2inds 27723

Description: Induction step in cusgrsize 27724. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
cusgrsize2inds	⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrsizeindb0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hashnn0n0nn 14034	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
4	3	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
5		simplll 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
6		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ 𝑉)
7		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 = (♯‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
8	7	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
9		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
11	10	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
12	11	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
13		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
14		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
15	13, 14	npcand 11266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
16	15	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
17	8, 16	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
18	17	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
19	18	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
20		hashdifsnp1 14138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1)))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
22	5, 6, 12, 19, 21	syl31anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
23		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((♯‘𝑉) − 1)C2))
24	23	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
25	8	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
26		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
27		hashclb 14001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
28	26, 27	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
29		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
30		cusgrsizeinds.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
31	1, 29, 30	cusgrsizeinds 27722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
32		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
33	32	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
35		bcn2m1 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) = ((♯‘𝑉)C2))
36	35	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
37	36	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
39	34, 38	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
40	39	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
41	40	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
42	31, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
43	42	3exp 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
44	43	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
45	28, 44	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
46	45	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
48	47	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
49	25, 48	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
51	50	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
52	24, 51	syl6bi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
53	52	com24 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
54	22, 53	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
55	54	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
56	55	adantllr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
57	4, 56	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
58	57	exp41 434	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
59	58	com25 99	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
60	2, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
61	60	3imp 1109	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
62	61	com12 32	1 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  Ccbc 13944  ♯chash 13972  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320  ComplUSGraphccusgr 27680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-vtx 27271  df-iedg 27272  df-edg 27321  df-uhgr 27331  df-upgr 27355  df-umgr 27356  df-uspgr 27423  df-usgr 27424  df-fusgr 27587  df-nbgr 27603  df-uvtx 27656  df-cplgr 27681  df-cusgr 27682

This theorem is referenced by:  cusgrsize  27724