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Theorem cusgrsize2inds 27247
Description: Induction step in cusgrsize 27248. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrsizeindb0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
cusgrsize2inds (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds
StepHypRef Expression
1 cusgrsizeindb0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6663 . . . 4 𝑉 ∈ V
3 hashnn0n0nn 13752 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
43anassrs 471 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
5 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
6 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁𝑉)
7 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌 = (♯‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
87eqcoms 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
9 nnm1nn0 11930 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1211imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
13 nncn 11637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
14 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1513, 14npcand 10994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
1615eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
178, 16syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
1918imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
20 hashdifsnp1 13854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1)))
2120imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
225, 6, 12, 19, 21syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
23 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((♯‘𝑉) − 1)C2))
2423eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
258ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
26 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
27 hashclb 13719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
2826, 27syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
29 cusgrsizeindb0.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐸 = (Edg‘𝐺)
30 cusgrsizeinds.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
311, 29, 30cusgrsizeinds 27246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
32 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
3332eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
35 bcn2m1 13684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) = ((♯‘𝑉)C2))
3635eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
3736biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
3837adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
3934, 38sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
4039ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
4140com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
4231, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
43423exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4443com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4528, 44syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4645com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ V → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4746adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4847imp 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
4925, 48sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5049imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5150com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5224, 51syl6bi 256 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5352com24 95 . . . . . . . . . 10 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5422, 53mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5554ex 416 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5655adantllr 718 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
574, 56mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5857exp41 438 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
5958com25 99 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
602, 59ax-mp 5 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
61603imp 1108 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
6261com12 32 1 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wnel 3094  {crab 3113  Vcvv 3444  cdif 3881  {csn 4528  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  1c1 10531   + caddc 10533  cmin 10863  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  Ccbc 13662  chash 13690  Vtxcvtx 26793  Edgcedg 26844  ComplUSGraphccusgr 27204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-seq 13369  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-vtx 26795  df-iedg 26796  df-edg 26845  df-uhgr 26855  df-upgr 26879  df-umgr 26880  df-uspgr 26947  df-usgr 26948  df-fusgr 27111  df-nbgr 27127  df-uvtx 27180  df-cplgr 27205  df-cusgr 27206
This theorem is referenced by:  cusgrsize  27248
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