Theorem cusgrsize2inds 30035

Description: Induction step in cusgrsize 30036. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
cusgrsize2inds	⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrsizeindb0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hashnn0n0nn 14536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
4	3	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
5		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
6		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ 𝑉)
7		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 = (♯‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
8	7	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
9		nnm1nn0 12648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
11	10	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
12	11	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
13		nncn 12344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
14		1cnd 11303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
15	13, 14	npcand 11674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
16	15	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
17	8, 16	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
18	17	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
19	18	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
20		hashdifsnp1 14652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1)))
21	20	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
22	5, 6, 12, 19, 21	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
23		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((♯‘𝑉) − 1)C2))
24	23	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
25	8	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
26		nnnn0 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
27		hashclb 14503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
28	26, 27	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
29		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
30		cusgrsizeinds.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
31	1, 29, 30	cusgrsizeinds 30034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
32		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
33	32	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
35		bcn2m1 14469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) = ((♯‘𝑉)C2))
36	35	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
37	36	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
39	34, 38	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
40	39	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
41	40	com3r 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
42	31, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
43	42	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
44	43	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
45	28, 44	syldc 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
46	45	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
48	47	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
49	25, 48	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
50	49	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
51	50	com13 89	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
52	24, 51	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
53	52	com24 96	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
54	22, 53	mpcom 39	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
55	54	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
56	55	adantllr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
57	4, 56	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
58	57	exp41 440	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
59	58	com25 100	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
60	2, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
61	60	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
62	61	com12 33	1 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  {csn 4583  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  1c1 11202   + caddc 11204   − cmin 11542  ℕcn 12336  2c2 12398  ℕ₀cn0 12607  Ccbc 14447  ♯chash 14475  Vtxcvtx 29575  Edgcedg 29626  ComplUSGraphccusgr 29992

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-seq 14146  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-vtx 29577  df-iedg 29578  df-edg 29627  df-uhgr 29637  df-upgr 29661  df-umgr 29662  df-uspgr 29732  df-usgr 29733  df-fusgr 29899  df-nbgr 29915  df-uvtx 29968  df-cplgr 29993  df-cusgr 29994

This theorem is used by:  cusgrsize  30036