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Theorem cusgrsize2inds 28450
Description: Induction step in cusgrsize 28451. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrsizeindb0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
cusgrsize2inds (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds
StepHypRef Expression
1 cusgrsizeindb0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6860 . . . 4 𝑉 ∈ V
3 hashnn0n0nn 14300 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
43anassrs 469 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
5 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
6 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁𝑉)
7 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌 = (♯‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
87eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
9 nnm1nn0 12462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1211imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
13 nncn 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
14 1cnd 11158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1513, 14npcand 11524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
1615eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
178, 16syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
1918imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
20 hashdifsnp1 14404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1)))
2120imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
225, 6, 12, 19, 21syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
23 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((♯‘𝑉) − 1)C2))
2423eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
258ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
26 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
27 hashclb 14267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
2826, 27syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
29 cusgrsizeindb0.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐸 = (Edg‘𝐺)
30 cusgrsizeinds.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
311, 29, 30cusgrsizeinds 28449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
32 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
3332eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
3433adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
35 bcn2m1 14233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) = ((♯‘𝑉)C2))
3635eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
3736biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
3934, 38sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
4039ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
4140com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
4231, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
43423exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4443com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4528, 44syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4645com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ V → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4847imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
4925, 48sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5049imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5150com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5224, 51syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5352com24 95 . . . . . . . . . 10 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5422, 53mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5554ex 414 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5655adantllr 718 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
574, 56mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5857exp41 436 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
5958com25 99 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
602, 59ax-mp 5 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
61603imp 1112 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
6261com12 32 1 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3046  {crab 3406  Vcvv 3447  cdif 3911  {csn 4590  cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  1c1 11060   + caddc 11062  cmin 11393  cn 12161  2c2 12216  0cn0 12421  Ccbc 14211  chash 14239  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047  ComplUSGraphccusgr 28407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-vtx 27998  df-iedg 27999  df-edg 28048  df-uhgr 28058  df-upgr 28082  df-umgr 28083  df-uspgr 28150  df-usgr 28151  df-fusgr 28314  df-nbgr 28330  df-uvtx 28383  df-cplgr 28408  df-cusgr 28409
This theorem is referenced by:  cusgrsize  28451
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