Theorem hashnnltb 46277

Description: The ♯ function on ω preserves the ordering. (Contributed by Eric Schmidt, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hashnnltb	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashnnltb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnnlt 46276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵))
2	1	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵)))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵)))
4		hashss 14594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
5	4	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
7		nnon 7917	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
8		nnon 7917	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
9		ontri1 6423	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	7, 8, 9	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
11		hashxrcl 14542	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
12		hashxrcl 14542	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
13		xrlenlt 11413	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ ¬ (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ ¬ (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵)))
15	6, 10, 14	3imtr3d 296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵)))
16	3, 15	impcon4bid 230	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  Oncon0 6388  ‘cfv 6566  ωcom 7911  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516

This theorem is used by:  hashomiso  46279