Theorem hashomiso 45856

Description: The ♯ function yields an order isomorphism between ω and ℕ₀. (Contributed by Eric Schmidt, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hashomiso	⊢ (♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0)

Proof of Theorem hashomiso

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashomf1o 45855	. 2 ⊢ (♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
2		epel 5562	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
3		hashnnltb 45854	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
4	2, 3	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
5		fvres 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6		fvres 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
7	5, 6	breqan12d 5123	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦) ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
8	4, 7	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦)))
9	8	rgen2 3204	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω ∀𝑦 ∈ ω (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦))
10		df-isom 6546	. 2 ⊢ ((♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0) ↔ ((♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∀𝑦 ∈ ω (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦))))
11	1, 9, 10	mpbir2an 724	1 ⊢ (♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   class class class wbr 5107   E cep 5558   ↾ cres 5661  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537   Isom wiso 6538  ωcom 7866   < clt 11271  ℕ₀cn0 12532  ♯chash 14398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399

This theorem is used by: (None)