Theorem hashomiso 45775

Description: The ♯ function yields an order isomorphism between ω and ℕ₀. (Contributed by Eric Schmidt, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hashomiso	⊢ (♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0)

Proof of Theorem hashomiso

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashomf1o 45774	. 2 ⊢ (♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
2		epel 5569	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
3		hashnnltb 45773	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
4	2, 3	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
5		fvres 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6		fvres 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
7	5, 6	breqan12d 5130	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦) ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
8	4, 7	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦)))
9	8	rgen2 3208	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω ∀𝑦 ∈ ω (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦))
10		df-isom 6552	. 2 ⊢ ((♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0) ↔ ((♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∀𝑦 ∈ ω (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦))))
11	1, 9, 10	mpbir2an 724	1 ⊢ (♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   class class class wbr 5114   E cep 5565   ↾ cres 5668  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544  ωcom 7871   < clt 11261  ℕ₀cn0 12522  ♯chash 14386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387

This theorem is used by: (None)