Theorem hashomiso 46122

Description: The ♯ function yields an order isomorphism between ω and ℕ₀. (Contributed by Eric Schmidt, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hashomiso	⊢ (♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0)

Proof of Theorem hashomiso

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashomf1o 46121	. 2 ⊢ (♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
2		epel 5553	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
3		hashnnltb 46120	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
4	2, 3	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
5		fvres 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6		fvres 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
7	5, 6	breqan12d 5118	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦) ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
8	4, 7	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦)))
9	8	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω ∀𝑦 ∈ ω (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦))
10		df-isom 6550	. 2 ⊢ ((♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0) ↔ ((♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∀𝑦 ∈ ω (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦))))
11	1, 9, 10	mpbir2an 724	1 ⊢ (♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102   E cep 5549   ↾ cres 5652  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541   Isom wiso 6542  ωcom 7879   < clt 11348  ℕ₀cn0 12611  ♯chash 14479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-hash 14480

This theorem is used by: (None)