Theorem hashomiso 45593

Description: The ♯ function yields an order isomorphism between ω and ℕ₀. (Contributed by Eric Schmidt, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hashomiso	⊢ (♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0)

Proof of Theorem hashomiso

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashomf1o 45592	. 2 ⊢ (♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
2		epel 5554	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
3		hashnnltb 45591	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
4	2, 3	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
5		fvres 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6		fvres 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
7	5, 6	breqan12d 5120	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦) ↔ (♯‘𝑥) < (♯‘𝑦)))
8	4, 7	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦)))
9	8	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω ∀𝑦 ∈ ω (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦))
10		df-isom 6534	. 2 ⊢ ((♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0) ↔ ((♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∀𝑦 ∈ ω (𝑥 E 𝑦 ↔ ((♯ ↾ ω)‘𝑥) < ((♯ ↾ ω)‘𝑦))))
11	1, 9, 10	mpbir2an 723	1 ⊢ (♯ ↾ ω) Isom E , < (ω, ℕ0)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   class class class wbr 5104   E cep 5550   ↾ cres 5653  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525   Isom wiso 6526  ωcom 7850   < clt 11231  ℕ₀cn0 12492  ♯chash 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-hash 14355

This theorem is referenced by: (None)