Theorem hashss 14323

Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≼ 𝐴))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≼ 𝐴))
4	3	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
5		ssfi 9093	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8		hashdom 14293	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
12		hashinf 14249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13		ssexg 5265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
14	13	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15		hashxrcl 14271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
16		pnfge 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
18	17	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
20		breq2 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
22	19, 21	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
23	22	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
25	12, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
26	25	impancom 451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
27	26	com12 32	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
28	11, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489   ≼ cdom 8877  Fincfn 8879  +∞cpnf 11154  ℝ^*cxr 11156   ≤ cle 11158  ♯chash 14244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-hash 14245

This theorem is referenced by:  prsshashgt1  14324  hashin  14325  hashf1dmcdm  14358  nehash2  14388  isnzr2hash  20443  nbfusgrlevtxm1  29376  nbfusgrlevtxm2  29377  konigsberglem5  30257  hashpss  32817  cycpmconjslem2  33165  esplyfval2  33651  esplyfval3  33658  lbslelsp  33682  lssdimle  33692  extdgfialglem1  33777  poimirlem9  37742  aks6d1c4  42290  aks6d1c2lem4  42293  aks6d1c6lem2  42337  aks6d1c6lem3  42338  unitscyglem1  42361  unitscyglem5  42365  hashssle  45462  fourierdlem102  46368  fourierdlem114  46380  clnbgrlevtx  48007