Theorem hashss 13581

Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≼ 𝐴))
3	2	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≼ 𝐴))
4	3	impcom 399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
5		ssfi 8531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantrl 703	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7		simpl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8		hashdom 13551	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
9	6, 7, 8	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	10	ex 405	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
12		hashinf 13508	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13		ssexg 5079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
14	13	ancoms 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15		hashxrcl 13531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
16		pnfge 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
18	17	ex 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
19	18	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
20		breq2 4929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
21	20	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
22	19, 21	sylibrd 251	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
23	22	expcom 406	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
24	23	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
25	12, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
26	25	impancom 444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
27	26	com12 32	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
28	11, 27	pm2.61i 177	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3409   ⊆ wss 3823   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185   ≼ cdom 8302  Fincfn 8304  +∞cpnf 10469  ℝ^*cxr 10471   ≤ cle 10473  ♯chash 13503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-hash 13504

This theorem is referenced by:  prsshashgt1  13582  hashin  13583  nehash2  13641  isnzr2hash  19770  nbfusgrlevtxm1  26874  nbfusgrlevtxm2  26875  konigsberglem5  27800  lssdimle  30664  poimirlem9  34371  hashssle  41019  fourierdlem102  41949  fourierdlem114  41961