MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashss 14409
Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashss ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashss
StepHypRef Expression
1 ssdomg 9021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
21com12 32 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
32adantl 480 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
43impcom 406 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
5 ssfi 9201 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
65adantrl 714 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8 hashdom 14379 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
96, 7, 8syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
104, 9mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
1110ex 411 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
12 hashinf 14335 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13 ssexg 5324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1413ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15 hashxrcl 14357 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
16 pnfge 13150 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
1817ex 411 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
1918adantl 480 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
20 breq2 5153 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
2120adantr 479 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
2219, 21sylibrd 258 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2322expcom 412 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
2423adantr 479 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
2512, 24mpd 15 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2625impancom 450 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2726com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2811, 27pm2.61i 182 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944   class class class wbr 5149  cfv 6549  cdom 8962  Fincfn 8964  +∞cpnf 11282  *cxr 11284  cle 11286  chash 14330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14331
This theorem is referenced by:  prsshashgt1  14410  hashin  14411  hashf1dmcdm  14444  nehash2  14476  isnzr2hash  20475  nbfusgrlevtxm1  29267  nbfusgrlevtxm2  29268  konigsberglem5  30143  cycpmconjslem2  32973  lssdimle  33438  poimirlem9  37235  aks6d1c4  41729  aks6d1c2lem4  41732  aks6d1c6lem2  41776  aks6d1c6lem3  41777  hashssle  44820  fourierdlem102  45736  fourierdlem114  45748  clnbgrlevtx  47319
  Copyright terms: Public domain W3C validator