MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashss 14237
Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashss ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashss
StepHypRef Expression
1 ssdomg 8874 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
21com12 32 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
32adantl 483 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
43impcom 409 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
5 ssfi 9051 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
65adantrl 715 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8 hashdom 14207 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
96, 7, 8syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
104, 9mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
1110ex 414 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
12 hashinf 14163 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13 ssexg 5279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1413ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15 hashxrcl 14185 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
16 pnfge 12980 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
1817ex 414 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
1918adantl 483 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
20 breq2 5108 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
2120adantr 482 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
2219, 21sylibrd 259 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2322expcom 415 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
2423adantr 482 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
2512, 24mpd 15 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2625impancom 453 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2726com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2811, 27pm2.61i 182 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3909   class class class wbr 5104  cfv 6492  cdom 8815  Fincfn 8817  +∞cpnf 11120  *cxr 11122  cle 11124  chash 14158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-hash 14159
This theorem is referenced by:  prsshashgt1  14238  hashin  14239  nehash2  14301  isnzr2hash  20657  nbfusgrlevtxm1  28111  nbfusgrlevtxm2  28112  konigsberglem5  28986  cycpmconjslem2  31786  lssdimle  32076  hashf1dmcdm  33469  poimirlem9  35973  hashssle  43246  fourierdlem102  44159  fourierdlem114  44171
  Copyright terms: Public domain W3C validator