Theorem hashss 14447

Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8998	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≼ 𝐴))
3	2	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≼ 𝐴))
4	3	impcom 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
5		ssfi 9158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8		hashdom 14417	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
9	6, 7, 8	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	10	ex 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
12		hashinf 14373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13		ssexg 5291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
14	13	ancoms 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15		hashxrcl 14395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
16		pnfge 13156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
17	14, 15, 16	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
18	17	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
19	18	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
20		breq2 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
21	20	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
22	19, 21	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
23	22	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
24	23	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
25	12, 24	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
26	25	impancom 456	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
27	26	com12 33	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
28	11, 27	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538   ≼ cdom 8942  Fincfn 8944  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  ♯chash 14368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369

This theorem is referenced by:  hashpss  14448  prsshashgt1  14449  hashin  14450  hashf1dmcdm  14483  nehash2  14513  isnzr2hash  20604  nbfusgrlevtxm1  29708  nbfusgrlevtxm2  29709  konigsberglem5  30588  cycpmconjslem2  33456  esplyfval2  33936  esplyfval3  33943  lbslelsp  33969  lssdimle  33979  extdgfialglem1  34063  poimirlem9  38261  aks6d1c4  42872  aks6d1c2lem4  42875  aks6d1c6lem2  42919  aks6d1c6lem3  42920  unitscyglem1  42943  unitscyglem5  42947  hashnnltb  45715  hashssle  46000  fourierdlem102  46905  fourierdlem114  46917  clnbgrlevtx  48593