MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashss 13581
Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashss ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashss
StepHypRef Expression
1 ssdomg 8350 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
21com12 32 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
32adantl 474 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
43impcom 399 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
5 ssfi 8531 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
65adantrl 703 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpl 475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8 hashdom 13551 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
96, 7, 8syl2anc 576 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
104, 9mpbird 249 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
1110ex 405 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
12 hashinf 13508 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13 ssexg 5079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1413ancoms 451 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15 hashxrcl 13531 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
16 pnfge 12340 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
1817ex 405 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
1918adantl 474 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
20 breq2 4929 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
2120adantr 473 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
2219, 21sylibrd 251 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2322expcom 406 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
2423adantr 473 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
2512, 24mpd 15 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2625impancom 444 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2726com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2811, 27pm2.61i 177 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3409  wss 3823   class class class wbr 4925  cfv 6185  cdom 8302  Fincfn 8304  +∞cpnf 10469  *cxr 10471  cle 10473  chash 13503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-hash 13504
This theorem is referenced by:  prsshashgt1  13582  hashin  13583  nehash2  13641  isnzr2hash  19770  nbfusgrlevtxm1  26874  nbfusgrlevtxm2  26875  konigsberglem5  27800  lssdimle  30664  poimirlem9  34371  hashssle  41019  fourierdlem102  41949  fourierdlem114  41961
  Copyright terms: Public domain W3C validator