Theorem hashss 14316

Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≼ 𝐴))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≼ 𝐴))
4	3	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
5		ssfi 9087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8		hashdom 14286	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
12		hashinf 14242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13		ssexg 5262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
14	13	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15		hashxrcl 14264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
16		pnfge 13032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
18	17	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
20		breq2 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
22	19, 21	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
23	22	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
25	12, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
26	25	impancom 451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
27	26	com12 32	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
28	11, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482   ≼ cdom 8870  Fincfn 8872  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  prsshashgt1  14317  hashin  14318  hashf1dmcdm  14351  nehash2  14381  isnzr2hash  20404  nbfusgrlevtxm1  29322  nbfusgrlevtxm2  29323  konigsberglem5  30200  hashpss  32755  cycpmconjslem2  33098  lbslelsp  33570  lssdimle  33580  extdgfialglem1  33665  poimirlem9  37619  aks6d1c4  42107  aks6d1c2lem4  42110  aks6d1c6lem2  42154  aks6d1c6lem3  42155  unitscyglem1  42178  unitscyglem5  42182  hashssle  45290  fourierdlem102  46199  fourierdlem114  46211  clnbgrlevtx  47839