MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashss 14236
Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashss ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashss
StepHypRef Expression
1 ssdomg 8873 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
21com12 32 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
32adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
43impcom 408 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
5 ssfi 9050 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
65adantrl 714 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8 hashdom 14206 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
96, 7, 8syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
104, 9mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
1110ex 413 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
12 hashinf 14162 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13 ssexg 5278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1413ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15 hashxrcl 14184 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
16 pnfge 12979 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ +∞)
1817ex 413 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
1918adantl 482 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ +∞))
20 breq2 5107 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
2120adantr 481 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐵) ≤ +∞))
2219, 21sylibrd 258 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2322expcom 414 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))))
2512, 24mpd 15 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2625impancom 452 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2726com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)))
2811, 27pm2.61i 182 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908   class class class wbr 5103  cfv 6491  cdom 8814  Fincfn 8816  +∞cpnf 11119  *cxr 11121  cle 11123  chash 14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-oadd 8383  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-n0 12347  df-xnn0 12419  df-z 12433  df-uz 12696  df-fz 13353  df-hash 14158
This theorem is referenced by:  prsshashgt1  14237  hashin  14238  nehash2  14300  isnzr2hash  20657  nbfusgrlevtxm1  28123  nbfusgrlevtxm2  28124  konigsberglem5  28998  cycpmconjslem2  31798  lssdimle  32088  hashf1dmcdm  33481  poimirlem9  35982  hashssle  43289  fourierdlem102  44202  fourierdlem114  44214
  Copyright terms: Public domain W3C validator