MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmnd2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmnd2hash 18920
Description: The monoid of endofunctions on a (proper) pair has cardinality 4. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
efmnd1bas.1 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmnd1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmnd2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
efmnd2hash ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 4)

Proof of Theorem efmnd2hash
StepHypRef Expression
1 efmnd2bas.0 . . . 4 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
2 prfi 9361 . . . 4 {𝐼, 𝐽} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2835 . . 3 𝐴 ∈ Fin
4 efmnd1bas.1 . . . 4 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
5 efmnd1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5efmndhash 18902 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
73, 6ax-mp 5 . 2 (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴))
81fveq2i 6910 . . . . 5 (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼, 𝐽})
9 elex 3499 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐼 ∈ V)
10 elex 3499 . . . . . . 7 (𝐽𝑊𝐽 ∈ V)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
129, 10, 113anim123i 1150 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼𝐽))
13 hashprb 14433 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼𝐽) ↔ (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
1412, 13sylib 218 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
158, 14eqtrid 2787 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐴) = 2)
1615, 15oveq12d 7449 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) = (2↑2))
17 sq2 14233 . . 3 (2↑2) = 4
1816, 17eqtrdi 2791 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) = 4)
197, 18eqtrid 2787 1 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14099  chash 14366  Basecbs 17245  EndoFMndcefmnd 18894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator