Theorem efmnd2hash 18775

Description: The monoid of endofunctions on a (proper) pair has cardinality 4. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmnd1bas.1	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmnd1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmnd2bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
efmnd2hash	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 4)

Proof of Theorem efmnd2hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmnd2bas.0	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
2		prfi 9322	. . . 4 ⊢ {𝐼, 𝐽} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		efmnd1bas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
5		efmnd1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	efmndhash 18757	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴))
8	1	fveq2i 6895	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼, 𝐽})
9		elex 3493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
10		elex 3493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → 𝐽 ∈ V)
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
12	9, 10, 11	3anim123i 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
13		hashprb 14357	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ↔ (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
14	12, 13	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
15	8, 14	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐴) = 2)
16	15, 15	oveq12d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) = (2↑2))
17		sq2 14161	. . 3 ⊢ (2↑2) = 4
18	16, 17	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) = 4)
19	7, 18	eqtrid 2785	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 4)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475  {cpr 4631  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  2c2 12267  4c4 12269  ↑cexp 14027  ♯chash 14290  Basecbs 17144  EndoFMndcefmnd 18749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-efmnd 18750

This theorem is referenced by: (None)