MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmnd2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmnd2hash 18705
Description: The monoid of endofunctions on a (proper) pair has cardinality 4. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
efmnd1bas.1 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
efmnd1bas.2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
efmnd2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
efmnd2hash ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (β™―β€˜π΅) = 4)

Proof of Theorem efmnd2hash
StepHypRef Expression
1 efmnd2bas.0 . . . 4 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
2 prfi 9267 . . . 4 {𝐼, 𝐽} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2834 . . 3 𝐴 ∈ Fin
4 efmnd1bas.1 . . . 4 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
5 efmnd1bas.2 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
64, 5efmndhash 18687 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΅) = ((β™―β€˜π΄)↑(β™―β€˜π΄)))
73, 6ax-mp 5 . 2 (β™―β€˜π΅) = ((β™―β€˜π΄)↑(β™―β€˜π΄))
81fveq2i 6846 . . . . 5 (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜{𝐼, 𝐽})
9 elex 3464 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ V)
10 elex 3464 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ π‘Š β†’ 𝐽 ∈ V)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
129, 10, 113anim123i 1152 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼 β‰  𝐽))
13 hashprb 14298 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼 β‰  𝐽) ↔ (β™―β€˜{𝐼, 𝐽}) = 2)
1412, 13sylib 217 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (β™―β€˜{𝐼, 𝐽}) = 2)
158, 14eqtrid 2789 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (β™―β€˜π΄) = 2)
1615, 15oveq12d 7376 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ ((β™―β€˜π΄)↑(β™―β€˜π΄)) = (2↑2))
17 sq2 14102 . . 3 (2↑2) = 4
1816, 17eqtrdi 2793 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ ((β™―β€˜π΄)↑(β™―β€˜π΄)) = 4)
197, 18eqtrid 2789 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (β™―β€˜π΅) = 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3446  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  2c2 12209  4c4 12211  β†‘cexp 13968  β™―chash 14231  Basecbs 17084  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator