Theorem cplgr2vpr 30014

Description: An undirected hypergraph with two (different) vertices is complete iff there is an edge between these two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cplgr2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr2vpr	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cplgr2vpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
4		elex 3472	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
5		elex 3472	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ V)
6		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7		hashprb 14541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
8	7	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
9	4, 5, 6, 8	syl3an 1178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
10	3, 9	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (♯‘𝑉) = 2)
11		cplgr0v.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		cplgr2v.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	11, 12	cplgr2v 30013	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉 ∈ 𝐸))
14	1, 10, 13	syl2an2 699	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉 ∈ 𝐸))
15		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵})
16	15	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝑉 ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
17	14, 16	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  {cpr 4586  ‘cfv 6538  2c2 12397  ♯chash 14474  Vtxcvtx 29574  Edgcedg 29625  UHGraphcuhgr 29634  ComplGraphccplgr 29990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-edg 29626  df-uhgr 29636  df-nbgr 29914  df-uvtx 29967  df-cplgr 29992

This theorem is used by: (None)