MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr2vpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr2vpr 29290
Description: An undirected hypergraph with two (different) vertices is complete iff there is an edge between these two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cplgr2v.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cplgr2vpr (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cplgr2vpr
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
32adantl 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
4 elex 3482 . . . . 5 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
5 elex 3482 . . . . 5 (𝐵𝑌𝐵 ∈ V)
6 id 22 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
7 hashprb 14388 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
87biimpi 215 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
94, 5, 6, 8syl3an 1157 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
103, 9sylan9eqr 2787 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (♯‘𝑉) = 2)
11 cplgr0v.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12 cplgr2v.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1311, 12cplgr2v 29289 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉𝐸))
141, 10, 13syl2an2 684 . 2 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉𝐸))
15 simprr 771 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵})
1615eleq1d 2810 . 2 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝑉𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
1714, 16bitrd 278 1 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  Vcvv 3463  {cpr 4626  cfv 6543  2c2 12297  chash 14321  Vtxcvtx 28853  Edgcedg 28904  UHGraphcuhgr 28913  ComplGraphccplgr 29266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-edg 28905  df-uhgr 28915  df-nbgr 29190  df-uvtx 29243  df-cplgr 29268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator