Theorem cplgr2vpr 29450

Description: An undirected hypergraph with two (different) vertices is complete iff there is an edge between these two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cplgr2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr2vpr	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cplgr2vpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
4		elex 3501	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
5		elex 3501	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ V)
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7		hashprb 14436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
9	4, 5, 6, 8	syl3an 1161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
10	3, 9	sylan9eqr 2799	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (♯‘𝑉) = 2)
11		cplgr0v.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		cplgr2v.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	11, 12	cplgr2v 29449	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉 ∈ 𝐸))
14	1, 10, 13	syl2an2 686	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉 ∈ 𝐸))
15		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵})
16	15	eleq1d 2826	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝑉 ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
17	14, 16	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  {cpr 4628  ‘cfv 6561  2c2 12321  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UHGraphcuhgr 29073  ComplGraphccplgr 29426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-nbgr 29350  df-uvtx 29403  df-cplgr 29428

This theorem is referenced by: (None)