MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr2vpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr2vpr 28679
Description: An undirected hypergraph with two (different) vertices is complete iff there is an edge between these two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cplgr2v.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cplgr2vpr (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cplgr2vpr
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
32adantl 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
4 elex 3492 . . . . 5 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
5 elex 3492 . . . . 5 (𝐵𝑌𝐵 ∈ V)
6 id 22 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
7 hashprb 14353 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
87biimpi 215 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
94, 5, 6, 8syl3an 1160 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
103, 9sylan9eqr 2794 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (♯‘𝑉) = 2)
11 cplgr0v.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12 cplgr2v.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1311, 12cplgr2v 28678 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉𝐸))
141, 10, 13syl2an2 684 . 2 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉𝐸))
15 simprr 771 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵})
1615eleq1d 2818 . 2 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝑉𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
1714, 16bitrd 278 1 (((𝐴𝑋𝐵𝑌𝐴𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  Vcvv 3474  {cpr 4629  cfv 6540  2c2 12263  chash 14286  Vtxcvtx 28245  Edgcedg 28296  UHGraphcuhgr 28305  ComplGraphccplgr 28655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-edg 28297  df-uhgr 28307  df-nbgr 28579  df-uvtx 28632  df-cplgr 28657
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator