Theorem cplgr2vpr 29198

Description: An undirected hypergraph with two (different) vertices is complete iff there is an edge between these two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cplgr2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr2vpr	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cplgr2vpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
4		elex 3487	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
5		elex 3487	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ V)
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7		hashprb 14362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
8	7	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
9	4, 5, 6, 8	syl3an 1157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
10	3, 9	sylan9eqr 2788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (♯‘𝑉) = 2)
11		cplgr0v.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		cplgr2v.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	11, 12	cplgr2v 29197	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉 ∈ 𝐸))
14	1, 10, 13	syl2an2 683	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ 𝑉 ∈ 𝐸))
15		simprr 770	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵})
16	15	eleq1d 2812	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝑉 ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
17	14, 16	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468  {cpr 4625  ‘cfv 6537  2c2 12271  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28764  Edgcedg 28815  UHGraphcuhgr 28824  ComplGraphccplgr 29174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-nbgr 29098  df-uvtx 29151  df-cplgr 29176

This theorem is referenced by: (None)