Theorem hashfn 14440

Description: A function is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndmeng 9043	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐹)
2		ensym 9010	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐹 → 𝐹 ≈ 𝐴)
3		hasheni 14413	. . 3 ⊢ (𝐹 ≈ 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
5		dmexg 7899	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
6		fndm 6636	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
7	6	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
8	5, 7	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
9	8	con3dimp 414	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ 𝐹 ∈ V)
10		fvprc 6871	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (♯‘𝐹) = ∅)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = ∅)
12		fvprc 6871	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (♯‘𝐴) = ∅)
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐴) = ∅)
14	11, 13	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
15	4, 14	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5655   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533   ≈ cen 8950  ♯chash 14395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-hash 14396

This theorem is used by:  fseq1hash  14441  hashfun  14503  hashimarn  14506  fnfz0hash  14512  fnfz0hashnn0  14514  ffzo0hash  14515  fnfzo0hashnn0  14517  wrdred1hash  14627  ccatlen  14641  swrdlen  14716  swrdwrdsymb  14733  pfxlen  14754  revlen  14832  repswlen  14848  lenco  14904  s3rex  15022  ofccat  15043  pmtrdifwrdellem2  19610  elcgrabasi  29255  1arithidomlem1  33946  1arithidomlem2  33947  1arithidom  33948  frlmdim  34122  ply1degltdim  34134  subiwrdlen  34898  signstlen  35076  signsvtn0  35079  signstres  35084  signshlen  35099  sticksstones2  43014  frlmvscadiccat  43395  upgrimwlklem1  48814  grtriclwlk3  48862