Theorem hashfn 14519

Description: A function is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndmeng 9063	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐹)
2		ensym 9030	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐹 → 𝐹 ≈ 𝐴)
3		hasheni 14492	. . 3 ⊢ (𝐹 ≈ 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
5		dmexg 7913	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
6		fndm 6642	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
7	6	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
8	5, 7	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
9	8	con3dimp 414	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ 𝐹 ∈ V)
10		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (♯‘𝐹) = ∅)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = ∅)
12		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (♯‘𝐴) = ∅)
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐴) = ∅)
14	11, 13	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
15	4, 14	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  dom cdm 5650   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538   ≈ cen 8970  ♯chash 14474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-hash 14475

This theorem is used by:  fseq1hash  14520  hashfun  14582  hashimarn  14585  fnfz0hash  14591  fnfz0hashnn0  14593  ffzo0hash  14594  fnfzo0hashnn0  14596  wrdred1hash  14706  ccatlen  14720  swrdlen  14795  swrdwrdsymb  14812  pfxlen  14833  revlen  14911  repswlen  14927  lenco  14983  s3rex  15101  ofccat  15122  pmtrdifwrdellem2  19696  elcgrabasi  29375  1arithidomlem1  34109  1arithidomlem2  34110  1arithidom  34111  frlmdim  34285  ply1degltdim  34297  subiwrdlen  35060  signstlen  35238  signsvtn0  35241  signstres  35246  signshlen  35261  sticksstones2  43240  frlmvscadiccat  43616  upgrimwlklem1  49037  grtriclwlk3  49085