Theorem hashfn 13786

Description: A function is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndmeng 8606	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐹)
2		ensym 8576	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐹 → 𝐹 ≈ 𝐴)
3		hasheni 13758	. . 3 ⊢ (𝐹 ≈ 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
5		dmexg 7613	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
6		fndm 6436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
7	6	eleq1d 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
8	5, 7	syl5ib 247	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
9	8	con3dimp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ 𝐹 ∈ V)
10		fvprc 6650	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (♯‘𝐹) = ∅)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = ∅)
12		fvprc 6650	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (♯‘𝐴) = ∅)
13	12	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐴) = ∅)
14	11, 13	eqtr4d 2796	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))
15	4, 14	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ∅c0 4225   class class class wbr 5032  dom cdm 5524   Fn wfn 6330  ‘cfv 6335   ≈ cen 8524  ♯chash 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-hash 13741

This theorem is referenced by:  fseq1hash  13787  hashfun  13848  hashimarn  13851  fnfz0hash  13854  fnfz0hashnn0  13856  ffzo0hash  13857  fnfzo0hashnn0  13859  wrdred1hash  13960  ccatlen  13974  ccatlenOLD  13975  swrdlen  14056  swrdwrdsymb  14071  pfxlen  14092  revlen  14171  repswlen  14185  lenco  14241  ofccat  14376  pmtrdifwrdellem2  18677  frlmdim  31215  subiwrdlen  31872  signstlen  32065  signsvtn0  32068  signstres  32073  signshlen  32088  frlmvscadiccat  39744