Theorem normsqi 31222

Description: The square of a norm. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
normcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normsqi	⊢ ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴)

Proof of Theorem normsqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		normval 31214	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))
4	3	oveq1i 7367	. 2 ⊢ ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2)
5		hiidge0 31188	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴)
7		hiidrcl 31185	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ
9	8	sqsqrti 15330	. . 3 ⊢ (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
10	6, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴)
11	4, 10	eqtri 2762	1 ⊢ ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  0cc0 11030   ≤ cle 11172  2c2 12228  ↑cexp 14015  √csqrt 15187   ℋchba 31009   ·_ih csp 31012  norm_ℎcno 31013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-hv0cl 31093  ax-hvmul0 31100  ax-hfi 31169  ax-his1 31172  ax-his3 31174  ax-his4 31175

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-hnorm 31058

This theorem is referenced by:  normsq  31224  normpythi  31232  normpari  31244  polidi  31248  pjinormii  31766