Theorem normge0 31383

Description: The norm of a vector is nonnegative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normge0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem normge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hiidrcl 31352	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
2		hiidge0 31355	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
3	1, 2	sqrtge0d 15460	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
4		normval 31381	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
5	3, 4	breqtrrd 5132	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088   ≤ cle 11232  √csqrt 15272   ℋchba 31176   ·_ih csp 31179  norm_ℎcno 31180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-hv0cl 31260  ax-hvmul0 31267  ax-hfi 31336  ax-his1 31339  ax-his3 31341  ax-his4 31342

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-hnorm 31225

This theorem is referenced by:  norm-i  31386  normpyc  31403  bcsiALT  31436  bcs2  31439  pjhthlem1  31648  chscllem2  31895  pjdifnormii  31940  pjneli  31980  nmopge0  32168  unopnorm  32174  lnconi  32290  cnlnadjlem2  32325  cnlnadjlem7  32330  nmopcoadji  32358  leopnmid  32395  pjnormssi  32425  pjssposi  32429  hstle1  32483  hstle  32487  strlem3a  32509  strlem5  32512  jplem1  32525  cdj1i  32690  cdj3lem1  32691  cdj3lem2b  32694