Theorem normge0 31008

Description: The norm of a vector is nonnegative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normge0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem normge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hiidrcl 30977	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
2		hiidge0 30980	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
3	1, 2	sqrtge0d 15403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
4		normval 31006	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
5	3, 4	breqtrrd 5177	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140   ≤ cle 11281  √csqrt 15216   ℋchba 30801   ·_ih csp 30804  norm_ℎcno 30805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-hv0cl 30885  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his3 30966  ax-his4 30967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-hnorm 30850

This theorem is referenced by:  norm-i  31011  normpyc  31028  bcsiALT  31061  bcs2  31064  pjhthlem1  31273  chscllem2  31520  pjdifnormii  31565  pjneli  31605  nmopge0  31793  unopnorm  31799  lnconi  31915  cnlnadjlem2  31950  cnlnadjlem7  31955  nmopcoadji  31983  leopnmid  32020  pjnormssi  32050  pjssposi  32054  hstle1  32108  hstle  32112  strlem3a  32134  strlem5  32137  jplem1  32150  cdj1i  32315  cdj3lem1  32316  cdj3lem2b  32319