Theorem icopnfcnv 25263

Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +∞). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	⊢ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
2		0re 11310	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1xr 11368	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4		elico2 13541	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
6	5	simp1bi 1163	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	5	simp3bi 1165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 < 1)
8		1re 11308	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		difrp 13160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
10	6, 8, 9	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
11	7, 10	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
12	6, 11	rerpdivcld 13195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ)
13	5	simp2bi 1164	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝑥)
14	6, 11, 13	divge0d 13204	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
15		elrege0 13585	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥))))
16	12, 14, 15	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)1)) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
18		elrege0 13585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
19	18	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
20		readdcl 11283	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
21	8, 19, 20	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
23	18	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
24	19	ltp1d 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
25		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	19	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℂ)
27		addcom 11496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
28	25, 26, 27	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
29	24, 28	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (1 + 𝑦))
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 11468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 < (1 + 𝑦))
31	21, 30	elrpd 13161	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
32	19, 31	rerpdivcld 13195	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ)
33		divge0 12186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
35	21	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
36	35	mulridd 11326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((1 + 𝑦) · 1) = (1 + 𝑦))
37	29, 36	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1))
38	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
39		ltdivmul 12192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
41	37, 40	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)
42		elico2 13541	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)))
43	2, 3, 42	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1))
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
45	44	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
46	26	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
47	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	47	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
49	48, 46	mulcld 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
50	46, 49, 48	subadd2d 11688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
51		1cnd 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
52	51, 48, 46	subdird 11773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
53	46	mullidd 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
54	53	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
55	52, 54	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
56	55	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥))
57	48, 51, 46	adddid 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)))
58	48	mulridd 11326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
59	58	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
60	57, 59	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
61	60	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
62	50, 56, 61	3bitr4rd 315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥))
63		eqcom 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ (𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦)
64		eqcom 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦) ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥)
65	62, 63, 64	3bitr4g 317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
66	35	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
67	31	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
68	67	rpne0d 13169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ≠ 0)
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 12127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ 𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦))))
70	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
71	70	rpcnd 13166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
72	70	rpne0d 13169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ≠ 0)
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 12126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
74	65, 69, 73	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦))
75		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ (𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥)
76		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥)) ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦)
77	74, 75, 76	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
78	77	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 7674	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
80	79	mptru 1577	1 ⊢ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  –1-1-onto→wf1o 6537  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℝ⁺crp 13120  [,)cico 13478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-rp 13121  df-ico 13482

This theorem is used by:  icopnfhmeo  25264  iccpnfcnv  25265