Theorem icopnfcnv 24449

Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +∞). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	⊢ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
2		0re 11212	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1xr 11269	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4		elico2 13384	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
6	5	simp1bi 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	5	simp3bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 < 1)
8		1re 11210	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		difrp 13008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
10	6, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
11	7, 10	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
12	6, 11	rerpdivcld 13043	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ)
13	5	simp2bi 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝑥)
14	6, 11, 13	divge0d 13052	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
15		elrege0 13427	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥))))
16	12, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)1)) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
18		elrege0 13427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
19	18	simplbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
20		readdcl 11189	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
21	8, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
23	18	simprbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
24	19	ltp1d 12140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
25		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	19	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℂ)
27		addcom 11396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
28	25, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
29	24, 28	breqtrrd 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (1 + 𝑦))
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 11368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 < (1 + 𝑦))
31	21, 30	elrpd 13009	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
32	19, 31	rerpdivcld 13043	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ)
33		divge0 12079	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
35	21	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
36	35	mulridd 11227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((1 + 𝑦) · 1) = (1 + 𝑦))
37	29, 36	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1))
38	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
39		ltdivmul 12085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
41	37, 40	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)
42		elico2 13384	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)))
43	2, 3, 42	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1))
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1343	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
45	44	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
46	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
47	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	47	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
49	48, 46	mulcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
50	46, 49, 48	subadd2d 11586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
51		1cnd 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
52	51, 48, 46	subdird 11667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
53	46	mullidd 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
54	53	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
55	52, 54	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
56	55	eqeq1d 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥))
57	48, 51, 46	adddid 11234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)))
58	48	mulridd 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
59	58	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
60	57, 59	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
61	60	eqeq1d 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
62	50, 56, 61	3bitr4rd 311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥))
63		eqcom 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ (𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦)
64		eqcom 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦) ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥)
65	62, 63, 64	3bitr4g 313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
66	35	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
67	31	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
68	67	rpne0d 13017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ≠ 0)
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 12020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ 𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦))))
70	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
71	70	rpcnd 13014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
72	70	rpne0d 13017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ≠ 0)
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 12019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
74	65, 69, 73	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦))
75		eqcom 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ (𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥)
76		eqcom 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥)) ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦)
77	74, 75, 76	3bitr4g 313	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
78	77	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 7655	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
80	79	mptru 1548	1 ⊢ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674  –1-1-onto→wf1o 6539  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℝ⁺crp 12970  [,)cico 13322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-rp 12971  df-ico 13326

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24450  iccpnfcnv  24451