MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcnv 24458
Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +โˆž). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†ฆ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv (๐น:(0[,)1)โ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โˆง โ—ก๐น = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†ฆ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†ฆ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 0re 11216 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
3 1xr 11273 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„*
4 elico2 13388 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < 1)))
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < 1))
65simp1bi 1146 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
75simp3bi 1148 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ ๐‘ฅ < 1)
8 1re 11214 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
9 difrp 13012 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < 1 โ†” (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+))
106, 8, 9sylancl 587 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ (๐‘ฅ < 1 โ†” (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+))
117, 10mpbid 231 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
126, 11rerpdivcld 13047 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
135simp2bi 1147 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
146, 11, 13divge0d 13056 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
15 elrege0 13431 . . . . 5 ((๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ))))
1612, 14, 15sylanbrc 584 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
1716adantl 483 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1)) โ†’ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
18 elrege0 13431 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ))
1918simplbi 499 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
20 readdcl 11193 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
218, 19, 20sylancr 588 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
222a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2318simprbi 498 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
2419ltp1d 12144 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ < (๐‘ฆ + 1))
25 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
2619recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
27 addcom 11400 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + 1))
2825, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + 1))
2924, 28breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ < (1 + ๐‘ฆ))
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 11372 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 < (1 + ๐‘ฆ))
3121, 30elrpd 13013 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
3219, 31rerpdivcld 13047 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
33 divge0 12083 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ((1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)))
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 838 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)))
3521recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3635mulridd 11231 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ((1 + ๐‘ฆ) ยท 1) = (1 + ๐‘ฆ))
3729, 36breqtrrd 5177 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ < ((1 + ๐‘ฆ) ยท 1))
388a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
39 ltdivmul 12089 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1 โ†” ๐‘ฆ < ((1 + ๐‘ฆ) ยท 1)))
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1375 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1 โ†” ๐‘ฆ < ((1 + ๐‘ฆ) ยท 1)))
4137, 40mpbird 257 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1)
42 elico2 13388 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ (0[,)1) โ†” ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1)))
432, 3, 42mp2an 691 . . . . 5 ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ (0[,)1) โ†” ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1))
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1344 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ (0[,)1))
4544adantl 483 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ (0[,)1))
4626adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
476adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
4847recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4948, 46mulcld 11234 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
5046, 49, 48subadd2d 11590 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ))
51 1cnd 11209 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5251, 48, 46subdird 11671 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ((1 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
5346mullidd 11232 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
5453oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((1 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
5552, 54eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
5655eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ))
5748, 51, 46adddid 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
5848mulridd 11231 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1) = ๐‘ฅ)
5958oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
6057, 59eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
6160eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅ + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ))
6250, 56, 613bitr4rd 312 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ โ†” ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
63 eqcom 2740 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ)
64 eqcom 2740 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ)
6562, 63, 643bitr4g 314 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฅ = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
6635adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6731adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
6867rpne0d 13021 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โ‰  0)
6946, 48, 66, 68divmul3d 12024 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ))))
7011adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
7170rpcnd 13018 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
7270rpne0d 13021 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โ‰  0)
7348, 46, 71, 72divmul2d 12023 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
7465, 69, 733bitr4d 311 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) = ๐‘ฆ))
75 eqcom 2740 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ)
76 eqcom 2740 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) = ๐‘ฆ)
7774, 75, 763bitr4g 314 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ))))
7877adantl 483 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž))) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ))))
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 7659 . 2 (โŠค โ†’ (๐น:(0[,)1)โ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โˆง โ—ก๐น = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†ฆ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)))))
8079mptru 1549 1 (๐น:(0[,)1)โ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โˆง โ—ก๐น = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†ฆ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ—กccnv 5676  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„+crp 12974  [,)cico 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-rp 12975  df-ico 13330
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24459  iccpnfcnv  24460
  Copyright terms: Public domain W3C validator