Theorem icopnfcnv 24896

Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +∞). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	⊢ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
2		0re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1xr 11191	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4		elico2 13326	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
6	5	simp1bi 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	5	simp3bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 < 1)
8		1re 11132	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		difrp 12945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
10	6, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
11	7, 10	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
12	6, 11	rerpdivcld 12980	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ)
13	5	simp2bi 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝑥)
14	6, 11, 13	divge0d 12989	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
15		elrege0 13370	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥))))
16	12, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)1)) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
18		elrege0 13370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
19	18	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
20		readdcl 11109	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
21	8, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
23	18	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
24	19	ltp1d 12072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
25		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	19	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℂ)
27		addcom 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
28	25, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
29	24, 28	breqtrrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (1 + 𝑦))
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 < (1 + 𝑦))
31	21, 30	elrpd 12946	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
32	19, 31	rerpdivcld 12980	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ)
33		divge0 12011	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
35	21	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
36	35	mulridd 11149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((1 + 𝑦) · 1) = (1 + 𝑦))
37	29, 36	breqtrrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1))
38	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
39		ltdivmul 12017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
41	37, 40	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)
42		elico2 13326	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)))
43	2, 3, 42	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1))
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
45	44	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
46	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
47	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	47	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
49	48, 46	mulcld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
50	46, 49, 48	subadd2d 11511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
51		1cnd 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
52	51, 48, 46	subdird 11594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
53	46	mullidd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
54	53	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
55	52, 54	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
56	55	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥))
57	48, 51, 46	adddid 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)))
58	48	mulridd 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
59	58	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
60	57, 59	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
61	60	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
62	50, 56, 61	3bitr4rd 312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥))
63		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ (𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦)
64		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦) ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥)
65	62, 63, 64	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
66	35	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
67	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
68	67	rpne0d 12954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ≠ 0)
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 11951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ 𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦))))
70	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
71	70	rpcnd 12951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
72	70	rpne0d 12954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ≠ 0)
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 11950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
74	65, 69, 73	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦))
75		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ (𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥)
76		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥)) ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦)
77	74, 75, 76	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
78	77	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 7611	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
80	79	mptru 1548	1 ⊢ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  –1-1-onto→wf1o 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℝ⁺crp 12905  [,)cico 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-rp 12906  df-ico 13267

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24897  iccpnfcnv  24898