MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcnv 24449
Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +∞). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
2 0re 11212 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 1xr 11269 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
4 elico2 13384 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1)))
52, 3, 4mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1))
65simp1bi 1145 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
75simp3bi 1147 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 < 1)
8 1re 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
9 difrp 13008 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
106, 8, 9sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
117, 10mpbid 231 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
126, 11rerpdivcld 13043 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ)
135simp2bi 1146 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝑥)
146, 11, 13divge0d 13052 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
15 elrege0 13427 . . . . 5 ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥))))
1612, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
1716adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)1)) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
18 elrege0 13427 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
1918simplbi 498 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
20 readdcl 11189 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
218, 19, 20sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
222a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
2318simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
2419ltp1d 12140 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
25 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
2619recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℂ)
27 addcom 11396 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
2825, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
2924, 28breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (1 + 𝑦))
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 11368 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 < (1 + 𝑦))
3121, 30elrpd 13009 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
3219, 31rerpdivcld 13043 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ)
33 divge0 12079 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 837 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
3521recnd 11238 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
3635mulridd 11227 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((1 + 𝑦) · 1) = (1 + 𝑦))
3729, 36breqtrrd 5175 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1))
388a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
39 ltdivmul 12085 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1374 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
4137, 40mpbird 256 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)
42 elico2 13384 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)))
432, 3, 42mp2an 690 . . . . 5 ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1))
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1343 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
4544adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
4626adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
476adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847recnd 11238 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4948, 46mulcld 11230 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5046, 49, 48subadd2d 11586 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
51 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5251, 48, 46subdird 11667 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
5346mullidd 11228 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
5453oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
5552, 54eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
5655eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥))
5748, 51, 46adddid 11234 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)))
5848mulridd 11227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
5958oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
6057, 59eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
6160eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
6250, 56, 613bitr4rd 311 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥))
63 eqcom 2739 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ (𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦)
64 eqcom 2739 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦) ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥)
6562, 63, 643bitr4g 313 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
6635adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
6731adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
6867rpne0d 13017 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ≠ 0)
6946, 48, 66, 68divmul3d 12020 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦))))
7011adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
7170rpcnd 13014 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
7270rpne0d 13017 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ≠ 0)
7348, 46, 71, 72divmul2d 12019 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
7465, 69, 733bitr4d 310 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦))
75 eqcom 2739 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ (𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥)
76 eqcom 2739 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥)) ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦)
7774, 75, 763bitr4g 313 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
7877adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 7655 . 2 (⊤ → (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
8079mptru 1548 1 (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5674  1-1-ontowf1o 6539  (class class class)co 7405  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  +crp 12970  [,)cico 13322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-rp 12971  df-ico 13326
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24450  iccpnfcnv  24451
  Copyright terms: Public domain W3C validator