MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcnv 24305
Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +∞). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
2 0re 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 1xr 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
4 elico2 13328 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1)))
52, 3, 4mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1))
65simp1bi 1145 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
75simp3bi 1147 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 < 1)
8 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
9 difrp 12953 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
106, 8, 9sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
117, 10mpbid 231 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
126, 11rerpdivcld 12988 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ)
135simp2bi 1146 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝑥)
146, 11, 13divge0d 12997 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
15 elrege0 13371 . . . . 5 ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥))))
1612, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
1716adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)1)) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
18 elrege0 13371 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
1918simplbi 498 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
20 readdcl 11134 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
218, 19, 20sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
222a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
2318simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
2419ltp1d 12085 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
25 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
2619recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℂ)
27 addcom 11341 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
2825, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
2924, 28breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (1 + 𝑦))
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 11313 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 < (1 + 𝑦))
3121, 30elrpd 12954 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
3219, 31rerpdivcld 12988 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ)
33 divge0 12024 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 837 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
3521recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
3635mulid1d 11172 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((1 + 𝑦) · 1) = (1 + 𝑦))
3729, 36breqtrrd 5133 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1))
388a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
39 ltdivmul 12030 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1374 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
4137, 40mpbird 256 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)
42 elico2 13328 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)))
432, 3, 42mp2an 690 . . . . 5 ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1))
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1343 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
4544adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
4626adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
476adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4948, 46mulcld 11175 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5046, 49, 48subadd2d 11531 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
51 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5251, 48, 46subdird 11612 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
5346mulid2d 11173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
5453oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
5552, 54eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
5655eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥))
5748, 51, 46adddid 11179 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)))
5848mulid1d 11172 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
5958oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
6057, 59eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
6160eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
6250, 56, 613bitr4rd 311 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥))
63 eqcom 2743 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ (𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦)
64 eqcom 2743 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦) ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥)
6562, 63, 643bitr4g 313 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
6635adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
6731adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
6867rpne0d 12962 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ≠ 0)
6946, 48, 66, 68divmul3d 11965 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦))))
7011adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
7170rpcnd 12959 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
7270rpne0d 12962 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ≠ 0)
7348, 46, 71, 72divmul2d 11964 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
7465, 69, 733bitr4d 310 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦))
75 eqcom 2743 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ (𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥)
76 eqcom 2743 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥)) ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦)
7774, 75, 763bitr4g 313 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
7877adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 7606 . 2 (⊤ → (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
8079mptru 1548 1 (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  1-1-ontowf1o 6495  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  +crp 12915  [,)cico 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-rp 12916  df-ico 13270
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24306  iccpnfcnv  24307
  Copyright terms: Public domain W3C validator