Theorem icopnfcnv 24105

Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +∞). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	⊢ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
2		0re 10977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1xr 11034	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4		elico2 13143	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
6	5	simp1bi 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	5	simp3bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 < 1)
8		1re 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		difrp 12768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
10	6, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
11	7, 10	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
12	6, 11	rerpdivcld 12803	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ)
13	5	simp2bi 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝑥)
14	6, 11, 13	divge0d 12812	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
15		elrege0 13186	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥))))
16	12, 14, 15	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)1)) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
18		elrege0 13186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
19	18	simplbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
20		readdcl 10954	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
21	8, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
23	18	simprbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
24	19	ltp1d 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
25		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	19	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℂ)
27		addcom 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
28	25, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
29	24, 28	breqtrrd 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (1 + 𝑦))
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 11133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 < (1 + 𝑦))
31	21, 30	elrpd 12769	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
32	19, 31	rerpdivcld 12803	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ)
33		divge0 11844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
35	21	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
36	35	mulid1d 10992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((1 + 𝑦) · 1) = (1 + 𝑦))
37	29, 36	breqtrrd 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1))
38	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
39		ltdivmul 11850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
41	37, 40	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)
42		elico2 13143	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)))
43	2, 3, 42	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1))
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1342	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
45	44	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
46	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
47	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	47	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
49	48, 46	mulcld 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
50	46, 49, 48	subadd2d 11351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
51		1cnd 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
52	51, 48, 46	subdird 11432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
53	46	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
54	53	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
55	52, 54	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
56	55	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥))
57	48, 51, 46	adddid 10999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)))
58	48	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
59	58	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
60	57, 59	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
61	60	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
62	50, 56, 61	3bitr4rd 312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥))
63		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ (𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦)
64		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦) ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥)
65	62, 63, 64	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
66	35	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
67	31	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
68	67	rpne0d 12777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ≠ 0)
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 11785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ 𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦))))
70	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
71	70	rpcnd 12774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
72	70	rpne0d 12777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ≠ 0)
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 11784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
74	65, 69, 73	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦))
75		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ (𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥)
76		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥)) ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦)
77	74, 75, 76	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
78	77	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 7522	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
80	79	mptru 1546	1 ⊢ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  –1-1-onto→wf1o 6432  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-rp 12731  df-ico 13085

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24106  iccpnfcnv  24107