MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcnv 24986
Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +∞). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
2 0re 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 1xr 11317 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
4 elico2 13447 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1)))
52, 3, 4mp2an 692 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1))
65simp1bi 1144 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
75simp3bi 1146 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 < 1)
8 1re 11258 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
9 difrp 13070 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
106, 8, 9sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 < 1 ↔ (1 − 𝑥) ∈ ℝ+))
117, 10mpbid 232 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
126, 11rerpdivcld 13105 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ)
135simp2bi 1145 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝑥)
146, 11, 13divge0d 13114 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
15 elrege0 13490 . . . . 5 ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / (1 − 𝑥))))
1612, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)1) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
1716adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)1)) → (𝑥 / (1 − 𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
18 elrege0 13490 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
1918simplbi 497 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
20 readdcl 11235 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
218, 19, 20sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
222a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
2318simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
2419ltp1d 12195 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
25 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
2619recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℂ)
27 addcom 11444 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
2825, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) = (𝑦 + 1))
2924, 28breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < (1 + 𝑦))
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 11416 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 < (1 + 𝑦))
3121, 30elrpd 13071 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
3219, 31rerpdivcld 13105 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ)
33 divge0 12134 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 839 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)))
3521recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
3635mulridd 11275 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((1 + 𝑦) · 1) = (1 + 𝑦))
3729, 36breqtrrd 5175 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1))
388a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
39 ltdivmul 12140 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝑦))) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1373 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1 ↔ 𝑦 < ((1 + 𝑦) · 1)))
4137, 40mpbird 257 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)
42 elico2 13447 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1)))
432, 3, 42mp2an 692 . . . . 5 ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∧ (𝑦 / (1 + 𝑦)) < 1))
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1342 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
4544adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 / (1 + 𝑦)) ∈ (0[,)1))
4626adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
476adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4948, 46mulcld 11278 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5046, 49, 48subadd2d 11636 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
51 1cnd 11253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5251, 48, 46subdird 11717 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
5346mullidd 11276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
5453oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑦)) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
5552, 54eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((1 − 𝑥) · 𝑦) = (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)))
5655eqeq1d 2736 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦 − (𝑥 · 𝑦)) = 𝑥))
5748, 51, 46adddid 11282 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)))
5848mulridd 11275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
5958oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · 1) + (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
6057, 59eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (1 + 𝑦)) = (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)))
6160eqeq1d 2736 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑥 · 𝑦)) = 𝑦))
6250, 56, 613bitr4rd 312 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦 ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥))
63 eqcom 2741 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ (𝑥 · (1 + 𝑦)) = 𝑦)
64 eqcom 2741 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦) ↔ ((1 − 𝑥) · 𝑦) = 𝑥)
6562, 63, 643bitr4g 314 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦)) ↔ 𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
6635adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
6731adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
6867rpne0d 13079 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 + 𝑦) ≠ 0)
6946, 48, 66, 68divmul3d 12074 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥𝑦 = (𝑥 · (1 + 𝑦))))
7011adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℝ+)
7170rpcnd 13076 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
7270rpne0d 13079 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (1 − 𝑥) ≠ 0)
7348, 46, 71, 72divmul2d 12073 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦𝑥 = ((1 − 𝑥) · 𝑦)))
7465, 69, 733bitr4d 311 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥 ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦))
75 eqcom 2741 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ (𝑦 / (1 + 𝑦)) = 𝑥)
76 eqcom 2741 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥)) ↔ (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 𝑦)
7774, 75, 763bitr4g 314 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
7877adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 = (𝑦 / (1 + 𝑦)) ↔ 𝑦 = (𝑥 / (1 − 𝑥))))
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 7685 . 2 (⊤ → (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
8079mptru 1543 1 (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  1-1-ontowf1o 6561  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  +crp 13031  [,)cico 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-rp 13032  df-ico 13389
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24987  iccpnfcnv  24988
  Copyright terms: Public domain W3C validator