MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcnv 24688
Description: Define a bijection from [0, 1) to [0, +โˆž). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†ฆ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv (๐น:(0[,)1)โ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โˆง โ—ก๐น = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†ฆ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†ฆ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 0re 11221 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
3 1xr 11278 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„*
4 elico2 13393 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < 1)))
52, 3, 4mp2an 689 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < 1))
65simp1bi 1144 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
75simp3bi 1146 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ ๐‘ฅ < 1)
8 1re 11219 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
9 difrp 13017 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < 1 โ†” (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+))
106, 8, 9sylancl 585 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ (๐‘ฅ < 1 โ†” (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+))
117, 10mpbid 231 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
126, 11rerpdivcld 13052 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
135simp2bi 1145 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
146, 11, 13divge0d 13061 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
15 elrege0 13436 . . . . 5 ((๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ))))
1612, 14, 15sylanbrc 582 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โ†’ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
1716adantl 481 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1)) โ†’ (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
18 elrege0 13436 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ))
1918simplbi 497 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
20 readdcl 11197 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
218, 19, 20sylancr 586 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
222a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2318simprbi 496 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
2419ltp1d 12149 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ < (๐‘ฆ + 1))
25 ax-1cn 11172 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
2619recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
27 addcom 11405 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + 1))
2825, 26, 27sylancr 586 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + 1))
2924, 28breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ < (1 + ๐‘ฆ))
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 11377 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 < (1 + ๐‘ฆ))
3121, 30elrpd 13018 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
3219, 31rerpdivcld 13052 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
33 divge0 12088 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ((1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)))
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 836 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)))
3521recnd 11247 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3635mulridd 11236 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ((1 + ๐‘ฆ) ยท 1) = (1 + ๐‘ฆ))
3729, 36breqtrrd 5176 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ < ((1 + ๐‘ฆ) ยท 1))
388a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
39 ltdivmul 12094 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 + ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1 โ†” ๐‘ฆ < ((1 + ๐‘ฆ) ยท 1)))
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1373 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1 โ†” ๐‘ฆ < ((1 + ๐‘ฆ) ยท 1)))
4137, 40mpbird 257 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1)
42 elico2 13393 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ (0[,)1) โ†” ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1)))
432, 3, 42mp2an 689 . . . . 5 ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ (0[,)1) โ†” ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) < 1))
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1342 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ (0[,)1))
4544adantl 481 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โˆˆ (0[,)1))
4626adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
476adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
4847recnd 11247 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4948, 46mulcld 11239 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
5046, 49, 48subadd2d 11595 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ))
51 1cnd 11214 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5251, 48, 46subdird 11676 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ((1 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
5346mullidd 11237 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
5453oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((1 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
5552, 54eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
5655eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ))
5748, 51, 46adddid 11243 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท 1) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
5848mulridd 11236 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1) = ๐‘ฅ)
5958oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
6057, 59eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
6160eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅ + (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ))
6250, 56, 613bitr4rd 312 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ โ†” ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
63 eqcom 2738 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ)
64 eqcom 2738 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ)
6562, 63, 643bitr4g 314 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฅ = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
6635adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6731adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
6867rpne0d 13026 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 + ๐‘ฆ) โ‰  0)
6946, 48, 66, 68divmul3d 12029 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ ยท (1 + ๐‘ฆ))))
7011adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
7170rpcnd 13023 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
7270rpne0d 13026 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โ‰  0)
7348, 46, 71, 72divmul2d 12028 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
7465, 69, 733bitr4d 311 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) = ๐‘ฆ))
75 eqcom 2738 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) = ๐‘ฅ)
76 eqcom 2738 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) = ๐‘ฆ)
7774, 75, 763bitr4g 314 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ))))
7877adantl 481 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž))) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ / (1 โˆ’ ๐‘ฅ))))
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 7663 . 2 (โŠค โ†’ (๐น:(0[,)1)โ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โˆง โ—ก๐น = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†ฆ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ)))))
8079mptru 1547 1 (๐น:(0[,)1)โ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โˆง โ—ก๐น = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†ฆ (๐‘ฆ / (1 + ๐‘ฆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540  โŠคwtru 1541   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ—กccnv 5675  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119  +โˆžcpnf 11250  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„+crp 12979  [,)cico 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-rp 12980  df-ico 13335
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24689  iccpnfcnv  24690
  Copyright terms: Public domain W3C validator