Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggenod2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggenod2 18754
 Description: In an infinite cyclic group, the generator must have infinite order, but this property no longer characterizes the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2 · = (.g𝐺)
iscyg3.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggenod.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggenod2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑂𝑋) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem cyggenod2
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 iscyg.2 . . . . 5 · = (.g𝐺)
3 iscyg3.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyggen 18749 . . . 4 (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
54simplbi 490 . . 3 (𝑋𝐸𝑋𝐵)
6 cyggenod.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
7 eqid 2772 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))
81, 6, 2, 7dfod2 18446 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
95, 8sylan2 583 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑂𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
104simprbi 489 . . . . 5 (𝑋𝐸 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵)
1110adantl 474 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵)
1211eleq1d 2844 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
1311fveq2d 6497 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵))
1412, 13ifbieq1d 4367 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
159, 14eqtrd 2808 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑂𝑋) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {crab 3086  ifcif 4344   ↦ cmpt 5002  ran crn 5402  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8300  0cc0 10329  ℤcz 11787  ♯chash 13499  Basecbs 16333  Grpcgrp 17885  .gcmg 18005  odcod 18408 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-omul 7904  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-card 9156  df-acn 9159  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fz 12703  df-fl 12971  df-mod 13047  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-dvds 15462  df-0g 16565  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-mulg 18006  df-od 18412 This theorem is referenced by:  cyggex2  18765  cygznlem1  20409
 Copyright terms: Public domain W3C validator