Theorem fz1f1o 15667

Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1f1o	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem fz1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		elnn0 12434	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
4	3	orcomd 872	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
5		hasheq0 14320	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
6		isfinite4 14319	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
7		bren 8898	. . . . 5 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
8	6, 7	sylbb 219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
9	8	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
10	5, 9	orbi12d 919	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) = 0 ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴))))
11	4, 10	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  –1-1-onto→wf1o 6493  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ≈ cen 8885  Fincfn 8888  0cc0 11033  1c1 11034  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  sumz  15679  fsumf1o  15680  fsumss  15682  fsumcl2lem  15688  fsumadd  15697  fsummulc2  15741  fsumconst  15747  fsumrelem  15765  prod1  15904  fprodf1o  15906  fprodss  15908  fprodcl2lem  15910  fprodmul  15920  fproddiv  15921  fprodconst  15938  fprodn0  15939  gsumval3eu  19874  gsumzres  19879  gsumzcl2  19880  gsumzf1o  19882  gsumzaddlem  19891  gsumconst  19904  gsumzmhm  19907  gsumzoppg  19914  gsumfsum  21428  f1ocnt  32892  stoweidlem35  46485  stoweidlem39  46489