Theorem fz1f1o 14900

Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1f1o	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem fz1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 13567	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		elnn0 11747	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
3	1, 2	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
4	3	orcomd 866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
5		hasheq0 13574	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
6		isfinite4 13573	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
7		bren 8366	. . . . 5 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
8	6, 7	sylbb 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
9	8	biantrud 532	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
10	5, 9	orbi12d 913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) = 0 ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴))))
11	4, 10	mpbid 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1522  ∃wex 1761   ∈ wcel 2081  ∅c0 4211   class class class wbr 4962  –1-1-onto→wf1o 6224  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ≈ cen 8354  Fincfn 8357  0cc0 10383  1c1 10384  ℕcn 11486  ℕ₀cn0 11745  ...cfz 12742  ♯chash 13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-hash 13541

This theorem is referenced by:  sumz  14912  fsumf1o  14913  fsumss  14915  fsumcl2lem  14921  fsumadd  14929  fsummulc2  14972  fsumconst  14978  fsumrelem  14995  prod1  15131  fprodf1o  15133  fprodss  15135  fprodcl2lem  15137  fprodmul  15147  fproddiv  15148  fprodconst  15165  fprodn0  15166  gsumval3eu  18745  gsumzres  18750  gsumzcl2  18751  gsumzf1o  18753  gsumzaddlem  18761  gsumconst  18774  gsumzmhm  18777  gsumzoppg  18784  gsumfsum  20294  f1ocnt  30209  stoweidlem35  41862  stoweidlem39  41866