Theorem isinagd 28815

Description: Sufficient conditions for in-angle relation, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isinagd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
isinagd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
isinagd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
isinagd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
isinagd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
isinagd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
isinagd.5	⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isinagd	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Proof of Theorem isinagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinagd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		isinagd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
3		isinagd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
5		isinagd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
7		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐴𝐼𝐶))
8	6, 7	eleq12d 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐵 = 𝐵)
10	6, 9	eqeq12d 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝑌 = 𝐵))
11	6	breq1d 5101	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
12	10, 11	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ↔ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
13	8, 12	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))))
14		isinagd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15		isinagd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
16	14, 15	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
17	5, 13, 16	rspcedvd 3579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
18	4, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
19		isinag.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
20		isinag.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
21		isinag.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22		isinag.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
23		isinag.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
24		isinag.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		isinag.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26		isinagd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	isinag 28814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
28	18, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ⟨“cs3 14746  Basecbs 17117  Itvcitv 28409  hlGchlg 28576  inAcinag 28811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-s1 14501  df-s2 14752  df-s3 14753  df-inag 28813

This theorem is referenced by:  inagflat  28816