MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinagd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinagd 27210
Description: Sufficient conditions for in-angle relation, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x (𝜑𝑋𝑃)
isinag.a (𝜑𝐴𝑃)
isinag.b (𝜑𝐵𝑃)
isinag.c (𝜑𝐶𝑃)
isinagd.g (𝜑𝐺𝑉)
isinagd.y (𝜑𝑌𝑃)
isinagd.1 (𝜑𝐴𝐵)
isinagd.2 (𝜑𝐶𝐵)
isinagd.3 (𝜑𝑋𝐵)
isinagd.4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
isinagd.5 (𝜑 → (𝑌 = 𝐵𝑌(𝐾𝐵)𝑋))
Assertion
Ref Expression
isinagd (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Proof of Theorem isinagd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isinagd.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 isinagd.2 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
3 isinagd.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
41, 2, 33jca 1127 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵))
5 isinagd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
6 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
7 eqidd 2739 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐴𝐼𝐶))
86, 7eleq12d 2833 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9 eqidd 2739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → 𝐵 = 𝐵)
106, 9eqeq12d 2754 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥 = 𝐵𝑌 = 𝐵))
116breq1d 5083 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥(𝐾𝐵)𝑋𝑌(𝐾𝐵)𝑋))
1210, 11orbi12d 916 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ↔ (𝑌 = 𝐵𝑌(𝐾𝐵)𝑋)))
138, 12anbi12d 631 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵𝑌(𝐾𝐵)𝑋))))
14 isinagd.4 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15 isinagd.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 = 𝐵𝑌(𝐾𝐵)𝑋))
1614, 15jca 512 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵𝑌(𝐾𝐵)𝑋)))
175, 13, 16rspcedvd 3562 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
184, 17jca 512 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
19 isinag.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
20 isinag.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
21 isinag.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22 isinag.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
23 isinag.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
24 isinag.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
25 isinag.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
26 isinagd.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
2719, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26isinag 27209 . 2 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
2818, 27mpbird 256 1 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  ⟨“cs3 14565  Basecbs 16922  Itvcitv 26804  hlGchlg 26971  inAcinag 27206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-hash 14055  df-word 14228  df-concat 14284  df-s1 14311  df-s2 14571  df-s3 14572  df-inag 27208
This theorem is referenced by:  inagflat  27211
  Copyright terms: Public domain W3C validator