Theorem isinagd 28848

Description: Sufficient conditions for in-angle relation, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isinagd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
isinagd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
isinagd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
isinagd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
isinagd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
isinagd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
isinagd.5	⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isinagd	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Proof of Theorem isinagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinagd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		isinagd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
3		isinagd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
5		isinagd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
7		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐴𝐼𝐶))
8	6, 7	eleq12d 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐵 = 𝐵)
10	6, 9	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝑌 = 𝐵))
11	6	breq1d 5152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
12	10, 11	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ↔ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
13	8, 12	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))))
14		isinagd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15		isinagd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
16	14, 15	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
17	5, 13, 16	rspcedvd 3623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
18	4, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
19		isinag.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
20		isinag.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
21		isinag.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22		isinag.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
23		isinag.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
24		isinag.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		isinag.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26		isinagd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	isinag 28847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
28	18, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ⟨“cs3 14882  Basecbs 17248  Itvcitv 28442  hlGchlg 28609  inAcinag 28844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-s2 14888  df-s3 14889  df-inag 28846

This theorem is referenced by:  inagflat  28849