MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinagd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinagd 28663
Description: Sufficient conditions for in-angle relation, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isinag.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isinag.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
isinag.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
isinag.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
isinagd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
isinagd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
isinagd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
isinagd.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
isinagd.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝐡)
isinagd.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝐢))
isinagd.5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ = 𝐡 ∨ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋))
Assertion
Ref Expression
isinagd (πœ‘ β†’ 𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)

Proof of Theorem isinagd
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isinagd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
2 isinagd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
3 isinagd.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝐡)
41, 2, 33jca 1125 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡))
5 isinagd.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
6 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ π‘₯ = π‘Œ)
7 eqidd 2729 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (𝐴𝐼𝐢) = (𝐴𝐼𝐢))
86, 7eleq12d 2823 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ↔ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
9 eqidd 2729 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ 𝐡 = 𝐡)
106, 9eqeq12d 2744 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ = 𝐡 ↔ π‘Œ = 𝐡))
116breq1d 5162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋 ↔ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋))
1210, 11orbi12d 916 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ↔ (π‘Œ = 𝐡 ∨ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋)))
138, 12anbi12d 630 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)) ↔ (π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘Œ = 𝐡 ∨ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋))))
14 isinagd.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝐢))
15 isinagd.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ = 𝐡 ∨ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋))
1614, 15jca 510 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘Œ = 𝐡 ∨ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋)))
175, 13, 16rspcedvd 3613 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))
184, 17jca 510 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))))
19 isinag.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
20 isinag.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
21 isinag.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
22 isinag.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
23 isinag.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
24 isinag.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
25 isinag.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
26 isinagd.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
2719, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26isinag 28662 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))))
2818, 27mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  βŸ¨β€œcs3 14833  Basecbs 17187  Itvcitv 28257  hlGchlg 28424  inAcinag 28659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-inag 28661
This theorem is referenced by:  inagflat  28664
  Copyright terms: Public domain W3C validator