Theorem isinagd 28663

Description: Sufficient conditions for in-angle relation, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isinagd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
isinagd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
isinagd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
isinagd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
isinagd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
isinagd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
isinagd.5	⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isinagd	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Proof of Theorem isinagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinagd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		isinagd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
3		isinagd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
4	1, 2, 3	3jca 1125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
5		isinagd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
7		eqidd 2729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐴𝐼𝐶))
8	6, 7	eleq12d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9		eqidd 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐵 = 𝐵)
10	6, 9	eqeq12d 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝑌 = 𝐵))
11	6	breq1d 5162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
12	10, 11	orbi12d 916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ↔ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
13	8, 12	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))))
14		isinagd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15		isinagd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
16	14, 15	jca 510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
17	5, 13, 16	rspcedvd 3613	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
18	4, 17	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
19		isinag.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
20		isinag.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
21		isinag.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22		isinag.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
23		isinag.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
24		isinag.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		isinag.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26		isinagd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	isinag 28662	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
28	18, 27	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ⟨“cs3 14833  Basecbs 17187  Itvcitv 28257  hlGchlg 28424  inAcinag 28659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-inag 28661

This theorem is referenced by:  inagflat  28664