Theorem isinagd 27104

Description: Sufficient conditions for in-angle relation, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isinagd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
isinagd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
isinagd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
isinagd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
isinagd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
isinagd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
isinagd.5	⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isinagd	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Proof of Theorem isinagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinagd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		isinagd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
3		isinagd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
4	1, 2, 3	3jca 1126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
5		isinagd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
7		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐴𝐼𝐶))
8	6, 7	eleq12d 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐵 = 𝐵)
10	6, 9	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝑌 = 𝐵))
11	6	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
12	10, 11	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ↔ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
13	8, 12	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))))
14		isinagd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15		isinagd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
16	14, 15	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
17	5, 13, 16	rspcedvd 3555	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
18	4, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
19		isinag.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
20		isinag.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
21		isinag.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22		isinag.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
23		isinag.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
24		isinag.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		isinag.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26		isinagd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	isinag 27103	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
28	18, 27	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ⟨“cs3 14483  Basecbs 16840  Itvcitv 26699  hlGchlg 26865  inAcinag 27100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-inag 27102

This theorem is referenced by:  inagflat  27105