Theorem isinagd 28090

Description: Sufficient conditions for in-angle relation, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isinagd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
isinagd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
isinagd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
isinagd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
isinagd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
isinagd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
isinagd.5	⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isinagd	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Proof of Theorem isinagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinagd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		isinagd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
3		isinagd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
4	1, 2, 3	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
5		isinagd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
7		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐴𝐼𝐶))
8	6, 7	eleq12d 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐵 = 𝐵)
10	6, 9	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝑌 = 𝐵))
11	6	breq1d 5159	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋 ↔ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
12	10, 11	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ↔ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
13	8, 12	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))))
14		isinagd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15		isinagd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋))
16	14, 15	jca 513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑌 = 𝐵 ∨ 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)))
17	5, 13, 16	rspcedvd 3615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
18	4, 17	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
19		isinag.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
20		isinag.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
21		isinag.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22		isinag.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
23		isinag.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
24		isinag.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		isinag.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26		isinagd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
27	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	isinag 28089	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
28	18, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ⟨“cs3 14793  Basecbs 17144  Itvcitv 27684  hlGchlg 27851  inAcinag 28086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-inag 28088

This theorem is referenced by:  inagflat  28091