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Theorem isinag 28523
Description: Property for point 𝑋 to lie in the angle βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©. Definition 11.23 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isinag.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isinag.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
isinag.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
isinag.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
isinag.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
isinag (πœ‘ β†’ (𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem isinag
Dummy variables 𝑝 𝑑 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
21fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (π‘‘β€˜0) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0))
31fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (π‘‘β€˜1) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))
42, 3neeq12d 3001 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)))
51fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (π‘‘β€˜2) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2))
65, 3neeq12d 3001 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)))
7 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ 𝑝 = 𝑋)
87, 3neeq12d 3001 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1) ↔ 𝑋 β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)))
94, 6, 83anbi123d 1435 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ↔ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑋 β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))))
102, 5oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) = ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)))
1110eleq2d 2818 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ↔ π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2))))
123eqeq2d 2742 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ↔ π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)))
13 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ π‘₯ = π‘₯)
143fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (πΎβ€˜(π‘‘β€˜1)) = (πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)))
1513, 14, 7breq123d 5162 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝 ↔ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋))
1612, 15orbi12d 916 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝) ↔ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋)))
1711, 16anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝)) ↔ (π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋))))
1817rexbidv 3177 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋))))
199, 18anbi12d 630 . . . 4 ((𝑝 = 𝑋 ∧ 𝑑 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))) ↔ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑋 β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋)))))
20 eqid 2731 . . . 4 {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))} = {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))}
2119, 20brab2a 5769 . . 3 (𝑋{βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))}βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑋 β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋)))))
22 isinag.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
23 s3fv0 14849 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴)
25 isinag.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
26 s3fv1 14850 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ 𝑃 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
2824, 27neeq12d 3001 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ↔ 𝐴 β‰  𝐡))
29 isinag.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
30 s3fv2 14851 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ 𝑃 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢)
3231, 27neeq12d 3001 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ↔ 𝐢 β‰  𝐡))
3327neeq2d 3000 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ↔ 𝑋 β‰  𝐡))
3428, 32, 333anbi123d 1435 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑋 β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)) ↔ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡)))
3524, 31oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) = (𝐴𝐼𝐢))
3635eleq2d 2818 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
3727eqeq2d 2742 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ↔ π‘₯ = 𝐡))
3827fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)) = (πΎβ€˜π΅))
3938breqd 5159 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋 ↔ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))
4037, 39orbi12d 916 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋) ↔ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))
4136, 40anbi12d 630 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))))
4241rexbidv 3177 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))))
4334, 42anbi12d 630 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑋 β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋))) ↔ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))))
4443anbi2d 628 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑋 β‰  (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)𝐼(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))𝑋)))) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))))))
4521, 44bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋{βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))}βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))))))
46 isinag.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
47 elex 3492 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ V)
48 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Baseβ€˜π‘”) = (Baseβ€˜πΊ))
49 isinag.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5048, 49eqtr4di 2789 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Baseβ€˜π‘”) = 𝑃)
5150eleq2d 2818 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘”) ↔ 𝑝 ∈ 𝑃))
5250oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
5352eleq2d 2818 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (𝑑 ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
5451, 53anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘”) ∧ 𝑑 ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3))) ↔ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))))
55 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Itvβ€˜π‘”) = (Itvβ€˜πΊ))
56 isinag.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5755, 56eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Itvβ€˜π‘”) = 𝐼)
5857oveqd 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((π‘‘β€˜0)(Itvβ€˜π‘”)(π‘‘β€˜2)) = ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)))
5958eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)(Itvβ€˜π‘”)(π‘‘β€˜2)) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2))))
60 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝐺 β†’ (hlGβ€˜π‘”) = (hlGβ€˜πΊ))
61 isinag.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
6260, 61eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 β†’ (hlGβ€˜π‘”) = 𝐾)
6362fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1)) = (πΎβ€˜(π‘‘β€˜1)))
6463breqd 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘₯((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1))𝑝 ↔ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))
6564orbi2d 913 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1))𝑝) ↔ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝)))
6659, 65anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)(Itvβ€˜π‘”)(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1))𝑝)) ↔ (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))
6750, 66rexeqbidv 3342 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘”)(π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)(Itvβ€˜π‘”)(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1))𝑝)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))
6867anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘”)(π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)(Itvβ€˜π‘”)(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))) ↔ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝)))))
6954, 68anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (((𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘”) ∧ 𝑑 ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘”)(π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)(Itvβ€˜π‘”)(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1))𝑝)))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))))
7069opabbidv 5214 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘”) ∧ 𝑑 ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘”)(π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)(Itvβ€˜π‘”)(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))} = {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))})
71 df-inag 28522 . . . . 5 inA = (𝑔 ∈ V ↦ {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘”) ∧ 𝑑 ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘”)(π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)(Itvβ€˜π‘”)(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯((hlGβ€˜π‘”)β€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))})
7249fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
73 ovex 7445 . . . . . . 7 (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
7472, 73xpex 7744 . . . . . 6 (𝑃 Γ— (𝑃 ↑m (0..^3))) ∈ V
75 opabssxp 5768 . . . . . 6 {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))} βŠ† (𝑃 Γ— (𝑃 ↑m (0..^3)))
7674, 75ssexi 5322 . . . . 5 {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))} ∈ V
7770, 71, 76fvmpt 6998 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (inAβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))})
7846, 47, 773syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (inAβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))})
7978breqd 5159 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ 𝑋{βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ (((π‘‘β€˜0) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ (π‘‘β€˜2) β‰  (π‘‘β€˜1) ∧ 𝑝 β‰  (π‘‘β€˜1)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ ((π‘‘β€˜0)𝐼(π‘‘β€˜2)) ∧ (π‘₯ = (π‘‘β€˜1) ∨ π‘₯(πΎβ€˜(π‘‘β€˜1))𝑝))))}βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©))
80 isinag.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8122, 25, 29s3cld 14830 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word 𝑃)
82 s3len 14852 . . . . 5 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = 3
83 3nn0 12497 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
84 wrdmap 14503 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word 𝑃 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = 3) ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
8572, 83, 84mp2an 689 . . . . 5 ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word 𝑃 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = 3) ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
8681, 82, 85sylanblc 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
8780, 86jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
8887biantrurd 532 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))))))
8945, 79, 883bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  {copab 5210   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8826  0cc0 11116  1c1 11117  2c2 12274  3c3 12275  β„•0cn0 12479  ..^cfzo 13634  β™―chash 14297  Word cword 14471  βŸ¨β€œcs3 14800  Basecbs 17151  Itvcitv 28118  hlGchlg 28285  inAcinag 28520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-inag 28522
This theorem is referenced by:  isinagd  28524  inagswap  28526  inagne1  28527  inagne2  28528  inagne3  28529  inaghl  28530
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