Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2e 44337
 Description: Lemma 5 for isomuspgrlem2 44338. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
isomuspgrlem2.a (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
isomuspgrlem2.i (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
isomuspgrlem2.x (𝜑𝐹𝑋)
isomuspgrlem2.b (𝜑𝐵 ∈ USPGraph)
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2e (𝜑𝐺:𝐸1-1-onto𝐾)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2e
StepHypRef Expression
1 isomushgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
2 isomushgr.w . . 3 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
3 isomushgr.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐴)
4 isomushgr.k . . 3 𝐾 = (Edg‘𝐵)
5 isomuspgrlem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
6 isomuspgrlem2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
7 isomuspgrlem2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
8 isomuspgrlem2.i . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
9 isomuspgrlem2.x . . 3 (𝜑𝐹𝑋)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isomuspgrlem2c 44335 . 2 (𝜑𝐺:𝐸1-1𝐾)
11 isomuspgrlem2.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ USPGraph)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11isomuspgrlem2d 44336 . 2 (𝜑𝐺:𝐸onto𝐾)
13 df-f1o 6335 . 2 (𝐺:𝐸1-1-onto𝐾 ↔ (𝐺:𝐸1-1𝐾𝐺:𝐸onto𝐾))
1410, 12, 13sylanbrc 586 1 (𝜑𝐺:𝐸1-1-onto𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  {cpr 4530   ↦ cmpt 5113   “ cima 5526  –1-1→wf1 6325  –onto→wfo 6326  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  Vtxcvtx 26792  Edgcedg 26843  USPGraphcuspgr 26944 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-hash 13691  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-upgr 26878  df-uspgr 26946 This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2  44338
 Copyright terms: Public domain W3C validator