Theorem isomuspgrlem2e 44911

Description: Lemma 5 for isomuspgrlem2 44912. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
isomuspgrlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊)
isomuspgrlem2.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾))
isomuspgrlem2.x	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
isomuspgrlem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ USPGraph)

Assertion

Ref	Expression
isomuspgrlem2e	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸–1-1-onto→𝐾)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomushgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
2		isomushgr.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
3		isomushgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
4		isomushgr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
5		isomuspgrlem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
6		isomuspgrlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ USPGraph)
7		isomuspgrlem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊)
8		isomuspgrlem2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾))
9		isomuspgrlem2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isomuspgrlem2c 44909	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸–1-1→𝐾)
11		isomuspgrlem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ USPGraph)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11	isomuspgrlem2d 44910	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸–onto→𝐾)
13		df-f1o 6376	. 2 ⊢ (𝐺:𝐸–1-1-onto→𝐾 ↔ (𝐺:𝐸–1-1→𝐾 ∧ 𝐺:𝐸–onto→𝐾))
14	10, 12, 13	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸–1-1-onto→𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054  {cpr 4533   ↦ cmpt 5124   “ cima 5543  –1-1→wf1 6366  –onto→wfo 6367  –1-1-onto→wf1o 6368  ‘cfv 6369  Vtxcvtx 27059  Edgcedg 27110  USPGraphcuspgr 27211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-oadd 8195  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-dju 9500  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079  df-hash 13880  df-edg 27111  df-uhgr 27121  df-upgr 27145  df-uspgr 27213

This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2  44912