MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrngd 20076
Description: Properties that determine a non-unital ring. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isrngd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isrngd.p (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
isrngd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isrngd.g (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
isrngd.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
isrngd.a ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
isrngd.d ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
isrngd.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
Assertion
Ref Expression
isrngd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   + (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem isrngd
StepHypRef Expression
1 isrngd.g . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
2 isrngd.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
3 eqid 2726 . . . . 5 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
4 eqid 2726 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
53, 4mgpbas 20043 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
62, 5eqtrdi 2782 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
7 isrngd.t . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
8 eqid 2726 . . . . 5 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
93, 8mgpplusg 20041 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
107, 9eqtrdi 2782 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
11 isrngd.c . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
12 isrngd.a . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
13 fvexd 6899 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
146, 10, 11, 12, 13issgrpd 18661 . 2 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Smgrp)
152eleq2d 2813 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
162eleq2d 2813 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
172eleq2d 2813 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
1815, 16, 173anbi123d 1432 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
1918biimpar 477 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต))
20 isrngd.d . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
217adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
22 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ)
23 isrngd.p . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
2423oveqdr 7432 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง))
2521, 22, 24oveq123d 7425 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
2623adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
277oveqdr 7432 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
287oveqdr 7432 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
2926, 27, 28oveq123d 7425 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
3020, 25, 293eqtr3d 2774 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
31 isrngd.e . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
3223oveqdr 7432 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
33 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ง)
3421, 32, 33oveq123d 7425 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
357oveqdr 7432 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) = (๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
3626, 28, 35oveq123d 7425 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
3731, 34, 363eqtr3d 2774 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
3830, 37jca 511 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
3919, 38syldan 590 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
4039ralrimivvva 3197 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
41 eqid 2726 . . 3 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
424, 3, 41, 8isrng 20057 . 2 (๐‘… โˆˆ Rng โ†” (๐‘… โˆˆ Abel โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Smgrp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))))
431, 14, 40, 42syl3anbrc 1340 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Smgrpcsgrp 18649  Abelcabl 19699  mulGrpcmgp 20037  Rngcrng 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mgp 20038  df-rng 20056
This theorem is referenced by:  imasrng  20080  opprrng  20245  issubrng2  20456
  Copyright terms: Public domain W3C validator