MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrngd 20104
Description: Properties that determine a non-unital ring. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isrngd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isrngd.p (𝜑+ = (+g𝑅))
isrngd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isrngd.g (𝜑𝑅 ∈ Abel)
isrngd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isrngd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isrngd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isrngd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
isrngd (𝜑𝑅 ∈ Rng)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isrngd
StepHypRef Expression
1 isrngd.g . 2 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
2 isrngd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2727 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4 eqid 2727 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
53, 4mgpbas 20071 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
62, 5eqtrdi 2783 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7 isrngd.t . . . 4 (𝜑· = (.r𝑅))
8 eqid 2727 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
93, 8mgpplusg 20069 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
107, 9eqtrdi 2783 . . 3 (𝜑· = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
11 isrngd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
12 isrngd.a . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
13 fvexd 6906 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
146, 10, 11, 12, 13issgrpd 18681 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
152eleq2d 2814 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
162eleq2d 2814 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
172eleq2d 2814 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
1815, 16, 173anbi123d 1433 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
1918biimpar 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵))
20 isrngd.d . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
217adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → · = (.r𝑅))
22 eqidd 2728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥 = 𝑥)
23 isrngd.p . . . . . . . 8 (𝜑+ = (+g𝑅))
2423oveqdr 7442 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g𝑅)𝑧))
2521, 22, 24oveq123d 7435 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2623adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → + = (+g𝑅))
277oveqdr 7442 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
287oveqdr 7442 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥(.r𝑅)𝑧))
2926, 27, 28oveq123d 7435 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
3020, 25, 293eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
31 isrngd.e . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
3223oveqdr 7442 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
33 eqidd 2728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧 = 𝑧)
3421, 32, 33oveq123d 7435 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧))
357oveqdr 7442 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r𝑅)𝑧))
3626, 28, 35oveq123d 7435 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
3731, 34, 363eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
3830, 37jca 511 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
3919, 38syldan 590 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
4039ralrimivvva 3198 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
41 eqid 2727 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
424, 3, 41, 8isrng 20085 . 2 (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))))
431, 14, 40, 42syl3anbrc 1341 1 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  Vcvv 3469  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  Smgrpcsgrp 18669  Abelcabl 19727  mulGrpcmgp 20065  Rngcrng 20083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mgp 20066  df-rng 20084
This theorem is referenced by:  imasrng  20108  opprrng  20273  issubrng2  20484
  Copyright terms: Public domain W3C validator