MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrngd 20191
Description: Properties that determine a non-unital ring. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isrngd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isrngd.p (𝜑+ = (+g𝑅))
isrngd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isrngd.g (𝜑𝑅 ∈ Abel)
isrngd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isrngd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isrngd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isrngd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
isrngd (𝜑𝑅 ∈ Rng)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isrngd
StepHypRef Expression
1 isrngd.g . 2 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
2 isrngd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2735 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
53, 4mgpbas 20158 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
62, 5eqtrdi 2791 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7 isrngd.t . . . 4 (𝜑· = (.r𝑅))
8 eqid 2735 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
93, 8mgpplusg 20156 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
107, 9eqtrdi 2791 . . 3 (𝜑· = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
11 isrngd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
12 isrngd.a . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
13 fvexd 6922 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
146, 10, 11, 12, 13issgrpd 18756 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
152eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
162eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
172eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
1815, 16, 173anbi123d 1435 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
1918biimpar 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵))
20 isrngd.d . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
217adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → · = (.r𝑅))
22 eqidd 2736 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥 = 𝑥)
23 isrngd.p . . . . . . . 8 (𝜑+ = (+g𝑅))
2423oveqdr 7459 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g𝑅)𝑧))
2521, 22, 24oveq123d 7452 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2623adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → + = (+g𝑅))
277oveqdr 7459 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
287oveqdr 7459 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥(.r𝑅)𝑧))
2926, 27, 28oveq123d 7452 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
3020, 25, 293eqtr3d 2783 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
31 isrngd.e . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
3223oveqdr 7459 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
33 eqidd 2736 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧 = 𝑧)
3421, 32, 33oveq123d 7452 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧))
357oveqdr 7459 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r𝑅)𝑧))
3626, 28, 35oveq123d 7452 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
3731, 34, 363eqtr3d 2783 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
3830, 37jca 511 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
3919, 38syldan 591 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
4039ralrimivvva 3203 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
41 eqid 2735 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
424, 3, 41, 8isrng 20172 . 2 (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))))
431, 14, 40, 42syl3anbrc 1342 1 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Smgrpcsgrp 18744  Abelcabl 19814  mulGrpcmgp 20152  Rngcrng 20170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mgp 20153  df-rng 20171
This theorem is referenced by:  imasrng  20195  opprrng  20362  issubrng2  20575
  Copyright terms: Public domain W3C validator