Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrngd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrngd2 19958
 Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrngd.s (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
issubrngd.z (𝜑0 = (0g𝐼))
issubrngd.p (𝜑+ = (+g𝐼))
issubrngd.ss (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrngd.zcl (𝜑0𝐷)
issubrngd.acl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrngd.ncl ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrngd.o (𝜑1 = (1r𝐼))
issubrngd.t (𝜑· = (.r𝐼))
issubrngd.ocl (𝜑1𝐷)
issubrngd.tcl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrngd.g (𝜑𝐼 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
issubrngd2 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrngd2
StepHypRef Expression
1 issubrngd.s . . 3 (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
2 issubrngd.z . . 3 (𝜑0 = (0g𝐼))
3 issubrngd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝐼))
4 issubrngd.ss . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5 issubrngd.zcl . . 3 (𝜑0𝐷)
6 issubrngd.acl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7 issubrngd.ncl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8 issubrngd.g . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Ring)
9 ringgrp 19299 . . . 4 (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 18291 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12 issubrngd.o . . 3 (𝜑1 = (1r𝐼))
13 issubrngd.ocl . . 3 (𝜑1𝐷)
1412, 13eqeltrrd 2894 . 2 (𝜑 → (1r𝐼) ∈ 𝐷)
15 issubrngd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝐼))
1615oveqdr 7167 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝐼)𝑦))
17 issubrngd.tcl . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18173expb 1117 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
1916, 18eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
2019ralrimivva 3159 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22 eqid 2801 . . . 4 (1r𝐼) = (1r𝐼)
23 eqid 2801 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
2421, 22, 23issubrg2 19552 . . 3 (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
258, 24syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1339 1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479   ↾s cress 16480  +gcplusg 16561  .rcmulr 16562  0gc0g 16709  Grpcgrp 18099  invgcminusg 18100  SubGrpcsubg 18269  1rcur 19248  Ringcrg 19294  SubRingcsubrg 19528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-subg 18272  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-subrg 19530 This theorem is referenced by:  rngunsnply  40110
 Copyright terms: Public domain W3C validator