Theorem issubrngd2 20459

Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubrngd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubrngd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubrngd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrngd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubrngd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrngd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrngd.o	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
issubrngd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
issubrngd.ocl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
issubrngd.tcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrngd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
issubrngd2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrngd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
2		issubrngd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
3		issubrngd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
4		issubrngd.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5		issubrngd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6		issubrngd.acl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7		issubrngd.ncl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8		issubrngd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)
9		ringgrp 19788	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	issubgrpd2 18771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12		issubrngd.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
13		issubrngd.ocl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐷)
15		issubrngd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
16	15	oveqdr 7303	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝐼)𝑦))
17		issubrngd.tcl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18	17	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
19	16, 18	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
20	19	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
24	21, 22, 23	issubrg2 20044	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
25	8, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
26	11, 14, 20, 25	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  SubGrpcsubg 18749  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  SubRingcsubrg 20020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022

This theorem is referenced by:  rngunsnply  40998