Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrgspnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrgspnlem1 33246
Description: Lemma for elrgspn 33250. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
elrgspn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x · = (.g𝑅)
elrgspn.n 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a (𝜑𝐴𝐵)
elrgspnlem1.1 𝑆 = ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
Assertion
Ref Expression
elrgspnlem1 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑆,𝑔,𝑤   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem elrgspnlem1
Dummy variables 𝑖 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrgspn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
21ringgrpd 20239 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
3 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
4 elrgspn.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
61ringcmnd 20281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑅 ∈ CMnd)
84fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ V)
10 elrgspn.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝐵)
119, 10ssexd 5324 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 wrdexg 14562 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Word 𝐴 ∈ V)
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → Word 𝐴 ∈ V)
15 elrgspn.x . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝑅)
162ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
17 elrgspn.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
1817ssrab3 4082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 ⊆ (ℤ ↑m Word 𝐴)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ⊆ (ℤ ↑m Word 𝐴))
2019sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
21 zex 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℤ ∈ V)
2322, 13elmapd 8880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ↔ 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ↔ 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ))
2520, 24mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
2625ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔𝑤) ∈ ℤ)
27 elrgspn.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2827ringmgp 20236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
291, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
30 sswrd 14560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
3110, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
3231sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
3327, 4mgpbas 20142 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝑀)
3433gsumwcl 18852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
3529, 32, 34syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
3635adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
374, 15, 16, 26, 36mulgcld 19114 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
3837fmpttd 7135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))):Word 𝐴𝐵)
39 fvexd 6921 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → (0g𝑅) ∈ V)
40 0zd 12625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → 0 ∈ ℤ)
41 ssidd 4007 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐴)
42 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
4342, 17elrab2 3695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
4443simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝐹𝑔 finSupp 0)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑔 finSupp 0)
464, 5, 15mulg0 19092 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐵 → (0 · 𝑦) = (0g𝑅))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑦𝐵) → (0 · 𝑦) = (0g𝑅))
4839, 40, 14, 41, 36, 25, 45, 47fisuppov1 32692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
494, 5, 7, 14, 38, 48gsumcl 19933 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
5049ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
513, 50eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑥𝐵)
52 elrgspnlem1.1 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
5352eleq2i 2833 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
54 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
5554elrnmpt 5969 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
5655elv 3485 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
5753, 56sylbb 219 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 → ∃𝑔𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → ∃𝑔𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
5951, 58r19.29a 3162 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
6059, 4eleqtrdi 2851 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
6160ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
6261ssrdv 3989 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
6362, 4sseqtrrdi 4025 . 2 (𝜑𝑆𝐵)
64 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑓 = (Word 𝐴 × {0}) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (Word 𝐴 × {0}) finSupp 0))
65 0z 12624 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
6665fconst6 6798 . . . . . . . . . 10 (Word 𝐴 × {0}):Word 𝐴⟶ℤ
6766a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Word 𝐴 × {0}):Word 𝐴⟶ℤ)
6822, 13, 67elmapdd 8881 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Word 𝐴 × {0}) ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
69 c0ex 11255 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ V)
7113, 70fczfsuppd 9426 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Word 𝐴 × {0}) finSupp 0)
7264, 68, 71elrabd 3694 . . . . . . 7 (𝜑 → (Word 𝐴 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0})
7372, 17eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (𝜑 → (Word 𝐴 × {0}) ∈ 𝐹)
74 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑔 = (Word 𝐴 × {0}))
7574fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔𝑤) = ((Word 𝐴 × {0})‘𝑤))
7669fconst 6794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Word 𝐴 × {0}):Word 𝐴⟶{0}
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (Word 𝐴 × {0}):Word 𝐴⟶{0})
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
79 fvconst 7184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Word 𝐴 × {0}):Word 𝐴⟶{0} ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((Word 𝐴 × {0})‘𝑤) = 0)
8077, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((Word 𝐴 × {0})‘𝑤) = 0)
8175, 80eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔𝑤) = 0)
8281oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
8335adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
844, 5, 15mulg0 19092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
8682, 85eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
8786mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (0g𝑅)))
8887oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (0g𝑅))))
896cmnmndd 19822 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
905gsumz 18849 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ Word 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
9189, 13, 90syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
9291adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
9388, 92eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (0g𝑅))
9493eqeq2d 2748 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = (Word 𝐴 × {0})) → ((0g𝑅) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ↔ (0g𝑅) = (0g𝑅)))
95 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑅))
9673, 94, 95rspcedvd 3624 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑔𝐹 (0g𝑅) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
97 fvexd 6921 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
9854, 96, 97elrnmptd 5974 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
9998, 52eleqtrrdi 2852 . . 3 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ 𝑆)
10099ne0d 4342 . 2 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
101 simpllr 776 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
102 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
103101, 102oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
104 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1057adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑅 ∈ CMnd)
10614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → Word 𝐴 ∈ V)
10737adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
1082ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
109 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑖 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑖 finSupp 0))
110109, 17elrab2 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖𝐹 ↔ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑖 finSupp 0))
111110simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖𝐹𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
112111adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝐹) → 𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
11322, 13elmapd 8880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ↔ 𝑖:Word 𝐴⟶ℤ))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝐹) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ↔ 𝑖:Word 𝐴⟶ℤ))
115112, 114mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝐹) → 𝑖:Word 𝐴⟶ℤ)
116115ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑖𝑤) ∈ ℤ)
11735adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
1184, 15, 108, 116, 117mulgcld 19114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
119118adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
120 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
121 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
12248adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
12348ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑔𝐹 (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
124 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = 𝑖 → (𝑔𝑤) = (𝑖𝑤))
125124oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
126125mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
127126breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑖 → ((𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅)))
128127cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑔𝐹 (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅) ↔ ∀𝑖𝐹 (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
129123, 128sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑖𝐹 (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
130129r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
131130adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
1324, 5, 104, 105, 106, 107, 119, 120, 121, 122, 131gsummptfsadd 19942 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
13325ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑔 Fn Word 𝐴)
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑔 Fn Word 𝐴)
135115ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝐹) → 𝑖 Fn Word 𝐴)
136135adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑖 Fn Word 𝐴)
137 inidm 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Word 𝐴 ∩ Word 𝐴) = Word 𝐴
138 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔𝑤) = (𝑔𝑤))
139 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑖𝑤) = (𝑖𝑤))
140134, 136, 106, 106, 137, 138, 139ofval 7708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) = ((𝑔𝑤) + (𝑖𝑤)))
141140oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑔𝑤) + (𝑖𝑤)) · (𝑀 Σg 𝑤)))
14216adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
14326adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔𝑤) ∈ ℤ)
144116adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑖𝑤) ∈ ℤ)
14536adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
1464, 15, 104mulgdir 19124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑔𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑖𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)) → (((𝑔𝑤) + (𝑖𝑤)) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
147142, 143, 144, 145, 146syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑔𝑤) + (𝑖𝑤)) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
148141, 147eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
149148mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
150149oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
151132, 150eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
152 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = → (𝑔𝑤) = (𝑤))
153152oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = → ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
154153mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
155154oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
156155cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
157 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( = (𝑔f + 𝑖) → (𝑤) = ((𝑔f + 𝑖)‘𝑤))
158157oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = (𝑔f + 𝑖) → ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
159158mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = (𝑔f + 𝑖) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
160159oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = (𝑔f + 𝑖) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
161160eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝑔f + 𝑖) → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
162 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔f + 𝑖) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑔f + 𝑖) finSupp 0))
16321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → ℤ ∈ V)
164 zaddcl 12657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
165164adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
16625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
167115adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑖:Word 𝐴⟶ℤ)
168165, 166, 167, 106, 106, 137off 7715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑔f + 𝑖):Word 𝐴⟶ℤ)
169163, 106, 168elmapdd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑔f + 𝑖) ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
170 zringring 21460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ring ∈ Ring
171 ringmnd 20240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ Mnd)
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ring ∈ Mnd
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → ℤring ∈ Mnd)
17420adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
175111adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
17645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑔 finSupp 0)
177 zring0 21469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 = (0g‘ℤring)
178176, 177breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑔 finSupp (0g‘ℤring))
179110simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖𝐹𝑖 finSupp 0)
180179adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑖 finSupp 0)
181180, 177breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 𝑖 finSupp (0g‘ℤring))
182 zringbas 21464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ = (Base‘ℤring)
183182mndpfsupp 18780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℤring ∈ Mnd ∧ Word 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴)) ∧ (𝑔 finSupp (0g‘ℤring) ∧ 𝑖 finSupp (0g‘ℤring))) → (𝑔f (+g‘ℤring)𝑖) finSupp (0g‘ℤring))
184173, 106, 174, 175, 178, 181, 183syl222anc 1388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑔f (+g‘ℤring)𝑖) finSupp (0g‘ℤring))
185 zringplusg 21465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 + = (+g‘ℤring)
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → + = (+g‘ℤring))
187186ofeqd 7699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → ∘f + = ∘f (+g‘ℤring))
188187oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑔f + 𝑖) = (𝑔f (+g‘ℤring)𝑖))
189177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → 0 = (0g‘ℤring))
190184, 188, 1893brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑔f + 𝑖) finSupp 0)
191162, 169, 190elrabd 3694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑔f + 𝑖) ∈ {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0})
192191, 17eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑔f + 𝑖) ∈ 𝐹)
193 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
194161, 192, 193rspcedvdw 3625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → ∃𝐹 (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
195 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ V)
196156, 194, 195elrnmptd 5974 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
197196, 52eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔f + 𝑖)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑆)
198151, 197eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∈ 𝑆)
199198adantllr 719 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∈ 𝑆)
200199adantllr 719 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑖𝐹) → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∈ 𝑆)
201200ad4ant13 751 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∈ 𝑆)
202103, 201eqeltrd 2841 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ∧ 𝑖𝐹) ∧ 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
20352eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
204126oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
205204cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑖𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
206205elrnmpt 5969 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑖𝐹 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
207206elv 3485 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑖𝐹 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
208203, 207sylbb 219 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → ∃𝑖𝐹 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
209208adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑖𝐹 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
210209ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → ∃𝑖𝐹 𝑦 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
211202, 210r19.29a 3162 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
21258adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑔𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
213211, 212r19.29a 3162 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
214213ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
2152ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑅 ∈ Grp)
21626znegcld 12724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → -(𝑔𝑤) ∈ ℤ)
2174, 15, 16, 216, 36mulgcld 19114 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
218217fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))):Word 𝐴𝐵)
21925adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
220 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
221219, 220fvco3d 7009 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧) ∘ 𝑔)‘𝑤) = ((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧)‘(𝑔𝑤)))
222 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧)
223 negeq 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑔𝑤) → -𝑧 = -(𝑔𝑤))
224222, 223, 26, 216fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧)‘(𝑔𝑤)) = -(𝑔𝑤))
225221, 224eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧) ∘ 𝑔)‘𝑤) = -(𝑔𝑤))
226225oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧) ∘ 𝑔)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
227226mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧) ∘ 𝑔)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
228 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
229228znegcld 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℤ) → -𝑧 ∈ ℤ)
230229fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧):ℤ⟶ℤ)
231230adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧):ℤ⟶ℤ)
232231, 25fcod 6761 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧) ∘ 𝑔):Word 𝐴⟶ℤ)
23321a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → ℤ ∈ V)
234 negeq 11500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 0 → -𝑧 = -0)
235 neg0 11555 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = 0
236234, 235eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 0 → -𝑧 = 0)
237 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
238222, 236, 237, 237fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧)‘0) = 0)
239238adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧)‘0) = 0)
24040, 25, 231, 14, 233, 45, 239fsuppco2 9443 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧) ∘ 𝑔) finSupp 0)
24139, 40, 14, 41, 36, 232, 240, 47fisuppov1 32692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑧 ∈ ℤ ↦ -𝑧) ∘ 𝑔)‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
242227, 241eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g𝑅))
2434, 5, 7, 14, 218, 242gsumcl 19933 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
244243ad4ant13 751 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
2453oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑥(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
246 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
247 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
2484, 5, 104, 7, 14, 37, 217, 246, 247, 48, 242gsummptfsadd 19942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
249248ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
25026zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔𝑤) ∈ ℂ)
251250negidd 11610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔𝑤) + -(𝑔𝑤)) = 0)
252251oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑔𝑤) + -(𝑔𝑤)) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
2534, 15, 104mulgdir 19124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑔𝑤) ∈ ℤ ∧ -(𝑔𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)) → (((𝑔𝑤) + -(𝑔𝑤)) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
25416, 26, 216, 36, 253syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑔𝑤) + -(𝑔𝑤)) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
25536, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
256252, 254, 2553eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (0g𝑅))
257256mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (0g𝑅)))
258257oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (0g𝑅))))
25991adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
260258, 259eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (0g𝑅))
261260ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))(+g𝑅)(-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (0g𝑅))
262245, 249, 2613eqtr2d 2783 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑥(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (0g𝑅))
263 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
2644, 104, 5, 263grpinvid1 19009 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵 ∧ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵) → (((invg𝑅)‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ↔ (𝑥(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (0g𝑅)))
265264biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵 ∧ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (0g𝑅)) → ((invg𝑅)‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
266215, 51, 244, 262, 265syl31anc 1375 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → ((invg𝑅)‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
267 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) → (𝑤) = ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤))
268267oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) → ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
269268mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . 12 ( = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
270269oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
271270eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 ( = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
272 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) finSupp 0))
27325ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) → (𝑔𝑣) ∈ ℤ)
274273znegcld 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) → -(𝑔𝑣) ∈ ℤ)
275274fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)):Word 𝐴⟶ℤ)
276233, 14, 275elmapdd 8881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
277275ffund 6740 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)))
278133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑔 supp 0))) → 𝑔 Fn Word 𝐴)
27914adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑔 supp 0))) → Word 𝐴 ∈ V)
280 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑔 supp 0))) → 0 ∈ ℤ)
281 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑔 supp 0))) → 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑔 supp 0)))
282278, 279, 280, 281fvdifsupp 8196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑔 supp 0))) → (𝑔𝑣) = 0)
283282negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑔 supp 0))) → -(𝑔𝑣) = -0)
284283, 235eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑔 supp 0))) → -(𝑔𝑣) = 0)
285284, 14suppss2 8225 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) supp 0) ⊆ (𝑔 supp 0))
286276, 40, 277, 45, 285fsuppsssuppgd 9422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) finSupp 0)
287272, 276, 286elrabd 3694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) ∈ {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0})
288287, 17eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) ∈ 𝐹)
289 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣)) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))
290 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑤 → (𝑔𝑣) = (𝑔𝑤))
291290negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑤 → -(𝑔𝑣) = -(𝑔𝑤))
292289, 291, 220, 216fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤) = -(𝑔𝑤))
293292eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → -(𝑔𝑤) = ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤))
294293oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
295294mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
296295oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ -(𝑔𝑣))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
297271, 288, 296rspcedvdw 3625 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐹) → ∃𝐹 (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
298156, 297, 243elrnmptd 5974 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
299298, 52eleqtrrdi 2852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑆)
300299ad4ant13 751 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (-(𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑆)
301266, 300eqeltrd 2841 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑆)
302301, 58r19.29a 3162 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑆)
303214, 302jca 511 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑆))
304303ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑆))
3054, 104, 263issubg2 19159 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
306305biimpar 477 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
3072, 63, 100, 304, 306syl13anc 1374 1 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8185  m cmap 8866   finSupp cfsupp 9401  0cc0 11155   + caddc 11158  -cneg 11493  cz 12613  Word cword 14552  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  .gcmg 19085  SubGrpcsubg 19138  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  RingSpancrgspn 20610  ringczring 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33247
  Copyright terms: Public domain W3C validator